一、01背包；
1.背景：N件物品，和一个容量为V的背包，每件物品体积为C[i],价值为W[i],求在总体积不超过V的情况下，每件物品可以放或不放，获得的最大价值；
2.分析：我们把问题分成一个小问题，设f[i][v]代表在前i件物品中选择，并且获得容量为v的情况下，所获得最大价值；
则动态转移方程为f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]);
3.上述方法时间复杂度为O(V*N),空间复杂度为O(V*N);
优化空间复杂度，可以看到我们的最终答案只在f[n][v]中，因此，我们可以将f[i][v]化简为f[v];
则方程为：
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=v;j>=c[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
其中第一层循环选择物品，第二次选择容积是否满足最大价值条件，其中v应该从大到小，否则每一件物品会被选择多次；
二、完全背包；
1.背景相同，每件物品可以被选择多次；
2.分析：同样设f[i][v]代表在前i件物品中选择，并且获得容量为v的情况下，所获得最大价值；
动态方程为：f[i][v]=max(f[i][v],f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]),其中代表第i件物品选择k次；
3.优化时间和空间复杂度，首先先看优化前的代码；
for(i=1;i<=n;i++)
for (k=0;k*c[i]<=v;k++)
for (j=v;j>=k*c[i];j--)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
我们可以说f[i][j]=f[i-1][j-c[i]]+w[i]=f[i-1][j-2*v[i]]+w[i]*2=.....=f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i];
从后面向前推的话，假设k为v容积可以取到最多的i物品个数，假设我们已经将f[i-1][j-k*v[i]]求出来了；
则前面的我们可以直接递推过来，
如for(j=c[i];j<=V;j++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-c[i]]+w[i]);
其中我们可以看到每一个f[i][j-c[i]]都为最优值；故我们可以把每件物品取无限次，省去k这重循环；
依照第一类问题我们再优化空间复杂度，可得；
for（i=1;i<=n;i++）
for (j=c[i];j<=v;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
三、多重背包
1、背景：同上，不同每种物品有n[i]件；
2.分析：不难想到，我们可以用完全背包未化简之前的公式，f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
其中k小于n[i];
3.优化
我们可以将n[i]看做二进制数，则2^k代表第k+1位所代表的数，则小于n[i]的数都可以表示出来，其中n[i]>=2^(k+1);最后一个数字直接由n[i]-所有值的和；
比如
for（i=1;i<=N;i++)
{
int sum=0;
for (k=0;2^(k+1)<=n[i];k++)
{
for (j=v;j>=2^(k)*c[i];j--){
f[j]=max(f[j],f[j-2^(k)*c[i]]+w[i]*2^(k));
sum+=2^(k);
}
sum=n[i]-sum;
for (j=v;j>=sum*c[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-sum*c[i]]+w[i]*sum);
}
四、混合背包
1.上述各种背包的组合；
2.分析：