手算平方根的正确方法

手算平方根的「正确」方法，是什么方法？如果你认为是牛顿迭代法的话，你可以亲自试一下，看看效果如何：

（原帖 kz3007407872, 鉴于百度贴吧的帖子是公开的，我就不打码了）

其实牛顿迭代法非常好，在电脑上快得飞起。但是手算就不行了。

那么「正确」的方法是什么呢？是这个：

（原帖同上）

说得神神叨叨的，还能开无限小数，到底是什么方法？帖子里没说。

不过，幸运的是，我有一天翻 Wiki 的时候，碰巧翻到了这个方法。本文将详细介绍这个方法。

\(2\) 的算术平方根是多少？是 \(\sqrt{2}\). 不是 \(1.41\), 也不是 \(1.414213\). 所以，本文讨论的计算，是以（十进制小数）近似值为主的。准确地说，是不足近似值。

近似值，无论是精确到小数点后 1 位还是 1000 位，都是近似值。所以，计算近似值，先得确定精度（即：你算到哪一位 / 数量级就满意了）。

先讨论对一位数开平方，精确到小数点后 1 位的情况（以计算 \(\sqrt{2}\) 为例）。

这一上来就有一个问题：大家都知道 \(\sqrt{2}\) 精确到一位小数是 \(1.4\), 但为是么是 \(1.4\), 不是 \(1.3\) 或 \(1.5\)?

显然，\(1.5^2 > 2\), 不是我们要的不足近似值。而 \( 1.3^2 < 1.4^2 < 2 \) 所以在不过剩的情况下，最接近的（在给定精度范围内的）数是 \(1.4\).

既然是这样的话，我们就可以把这个过程「概括」成这样一个问题的求解：

求最大的一位数 \(x\), 使得不等式 \( \overline{1.x}^2 \leqslant 2 \) 成立。

求出 \(x=4\) 后，如果要继续提高精度，那么再求解这个问题：

求最大的一位数 \(y\), 使得不等式 \( \overline{1.4y}^2 \leqslant 2 \) 成立。

（精度还可以继续提高）

……

这其实就是大家计算平方根最常用的方法，即「试乘」。但是计算 \( \overline{1.x} \) 的平方，是多位数乘多位数，不好算。而且随着精度增加，越来越难算（\(\overline{1.414213x}^2\) 什么的，想想就要爆炸）。既然硬算不好算，那么就需要技巧。什么技巧呢？我们可以把式子变形一下，来降低运算的规模：

\( (1+\frac{x}{10})^2 \leqslant 2 \) (1)

把完全平方展开，得：

\( 1+\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100} \leqslant 2 \)

\( \Leftrightarrow \frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100} \leqslant 1 \)

\( \Leftrightarrow 20x+x^2 \leqslant 100 \)

\( \Leftrightarrow x(20+x) \leqslant 100 \)

\( \Leftrightarrow x\cdot \overline{2x} \leqslant 100 \) (2)

这样，运算规模就从多位数乘多位数降低到了一位数乘多位数，立马好算了许多。

继续提高精度，求百分位上的数字 \(y\)：

\( (1+\frac{x}{10}+\frac{y}{100})^2 \leqslant 2 \)

\( \Leftrightarrow {\left [(1+\frac{x}{10})+\frac{y}{100} \right ]}^2 \leqslant 2 \)

\( \Leftrightarrow (1+\frac{x}{10})^2+2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 2 \)

\( \Leftrightarrow 2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 2-(1+\frac{x}{10})^2 \)

\( \Leftrightarrow 2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 2-(1+\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100}) \)

\( \Leftrightarrow 2(1+\frac{x}{10})\frac{y}{100}+\frac{y^2}{10000} \leqslant 1-(\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100}) \)

\( \Leftrightarrow 20(10+x)y+y^2 \leqslant 100 \left [ 100-(20x+x^2) \right ] \)

\( \Leftrightarrow y \left [ 20(10+x)+y \right ] \leqslant 100 \left [ 100-x(20+x) \right ] \)

\( \Leftrightarrow y(20\cdot \overline{1x}+y) \leqslant 100 \left [ 100-x\cdot \overline{2x} \right ] \)

\( \Leftrightarrow y(2\cdot \overline{1x0}+y) \leqslant 100 \left [ 100-x\cdot \overline{2x} \right ] \)

\( \Leftrightarrow y\cdot \overline{\overline{(2\cdot\overline{1x})}y} \leqslant 100 \left [ 100-x\cdot \overline{2x} \right ] \) (3)

代入 \(x=4\) 即可求出 \(y\):

\( y\cdot \overline{28y} \leqslant 100 ( 100-4\cdot 24 ) \) (4)

我们发现，(3) 式的右侧，出现了与 (2) 式（移项后的一边）相同的部分，这个部分还被乘上了 \(100\)。而 (3) 式左侧，跟 \(2\) 式左侧形式相同，都是未知数乘以已得到结果序列的两倍在末尾处添上这个未知数（即帖子中所说「多位数的位数是已开方位数加 1」）。现在，其实已经可以归纳出规律，描述出一个完整的算法了。

但是，这时有些人就会不服：

**，这些破烂式子，都 ** 什么意思啊？*** 为什么要把已得到的结果翻一倍啊？把上一步的不等式两边作差，再乘以 100, 又 ** 是搞什么飞机？

对于这个开方法来说，如果只用代数去推导，确实会让人一头雾水。但是，一但用几何的方法直观地说明一下，这些步骤的意义就会非常明显。看了下面这个几何说明之后，你就会发现，这些看似「无厘头」的步骤，其实都是天经地义的。

看一下这张图（完全平方公式在正数情况下的几何证明）：

（来源：原创 / Public Domain）

再看看这张图：

（来源：Wikipedia）

发现什么了吗？

刚才计算 \(\sqrt{2}\) 近似值的百分位的过程，实际上就是在这个面积为 \(2\) 的绿色大正方形中，割出一块边长为 \( \overline{1.4x} \; (x=0,\;1,\;2,\;\cdots 9) \) 的小正方形，使 \(x\) 最大。而这个小正方形又可以被两条互相垂直的线切成四个部分。其中一个是边长为己经算出来的部分（精确到上一位的结果，即 \(1.4\)）的正方形（蓝色），剩下的是两个矩形（橙色）和一个正方形（粉色）。

整个小正方形的边长是 \( \overline{1.4x} \), 蓝色正方形的边长为 \(1.4\), 所以橙色矩形的宽就是 \( x\cdot 10^{-2} \), 长就是 \(1.4\), 粉色正方形的边长就是 \( x\cdot 10^{-2} \).

现在我们要求这个百分位，实际上就是要让小正方形在大小不超过大正方形的前提下，边长（面积）达到最大。怎么保证面积不超过大正方形呢？我们从大正方形的面积中减去蓝色正方形的面积，使两个橙色矩形和粉色正方形的面积和不超过这个面积差即可，即：

\( 2S_{orange}+S_{pink} \leqslant S_{green} - S_{blue} \)

代入它们的值，可得：

\( 2 \times 1.4 \cdot (x \cdot 10^{-2}) + (x \cdot 10^{-2})^2 \leqslant 2-1.4^2 \)

\( \Leftrightarrow 2 \times 1.4 \cdot (x \cdot 10^{-2}) + x^2 \cdot 10^{-4} \leqslant 2-1.4^2 \)

\( \Leftrightarrow 2 \times 1.4 \cdot (x \cdot 10^2) + x^2 \leqslant 10^4(2-1.4^2) \)

\( \Leftrightarrow 20 \times 14 x + x^2 \leqslant 10^4(2-(1+0.4)^2) \)

\( \Leftrightarrow x(280 + x) \leqslant 10^4(2-(1+0.8+0.16)) \)

\( \Leftrightarrow x \cdot \overline{28x} \leqslant 10^4(1-0.96) \)

\( \Leftrightarrow x \cdot \overline{28x} \leqslant 100 \times (100-96) \)

跟 (4) 式是不是完全一样？所以，这样一解释，那些步骤的意义就很明显了：

把 上次的结果翻一倍，相当于是在求 两个橙色矩形 的面积。在 \( 20x+x^2 \leqslant 100 \Leftrightarrow x(20+x) \leqslant 100 \) 这个式子中，\(20x\) 就相当于橙色部分，\(x^2\) 就相当于粉色部分
那个作差操作，相当于从总面积中扣除蓝色的已求部分；再往下算就是再从中扣掉精度提升后蓝色已求部分增加的面积。
乘以 100 是因为新的一位比上一位降低了一个数量级，多出来的那三块面积就少了两个数量级。