题目 : 数论四·扩展欧几里德
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描述
小Hi和小Ho周末在公园溜达。公园有一堆围成环形的石板，小Hi和小Ho分别站在不同的石板上。已知石板总共有m块，编号为 0..m-1，小Hi一开始站在s1号石板上，小Ho一开始站在s2号石板上。
小Hi：小Ho，你说我们俩如果从现在开始按照固定的间隔数同时同向移动，我们会不会在某个时间点站在同一块石板上呢？
小Ho：我觉得可能吧，你每次移动v1块，我移动v2块，我们看能不能遇上好了。
小Hi：好啊，那我们试试呗。
一个小时过去了，然而小Hi和小Ho还是没有一次站在同一块石板上。
小Ho：不行了，这样走下去不知道什么时候才汇合。小Hi，你有什么办法算算具体要多久才能汇合么？
小Hi：让我想想啊。。
提示：扩展欧几里德
输入
第1行：每行5个整数s1,s2,v1,v2,m，0≤v1,v2≤m≤1,000,000,000。0≤s1,s2<m
中间过程可能很大，最好使用64位整型
输出
第1行：每行1个整数，表示解，若该组数据无解则输出-1
- 样例输入
-
0 1 1 2 6
- 样例输出
-
5
解法：
先确定5个参数之间关系，建设存在时间t和圈数k满足：
s1+v1*t=s2+v2*t-k*m (v1<v2)
(v1-v2)*t+k*m=(s2-s1)—————— —— —————— A B C
看成Ax+By=C，求通解（x,y）使等式成立。使用扩展欧几里得算法。
上式成立的条件是，方程有解，既c为A，B最大公约数的整数倍。
欧几里得算法：是用来求解最大公约数的一种算法，大概思路是gcd(a, b) = gcd(b , a%b)，辗转相除法，这样做的好处是算法时间复杂度比枚举大大降低。logn级别。
a%b=0则，a、b的最大公约数为b。
a%b！=0，则gcd(a, b) = gcd(b , a%b)。
通过递归，降低数据的规模，得到一个解。
而扩展欧几里得算法，在欧几里得算法的基础上，再求一组（x,y），ABC均为gcd(A,B)的整数倍，ABC同时缩小gcd(A,B)。
得到A‘x+B‘y=C‘，gcd(A‘,B‘)=1，A‘,B‘互质(A,B的最大公约数为1)
取2组解
A * x1 + B * y1 = gcd(A, B) B * x2 + (A % B) * y2 = gcd(B, A % B) 化简为
x1 = y2, y1 = (x2 - ky2)递归求解（x,y）
终止条件为x=0，y=1；
1 #include <iostream>
2 typedef long long LL;
3 using namespace std;
4
5 LL gcd(LL a,LL b){
6 if(b==0)
7 return a;
8 return gcd(b,a%b);
9 }
10
11 LL extend_gcd(LL a, LL b,LL &x,LL &y){
12 if(a%b==0){
13 x=1;
14 y=0;
15 return a;
16 }
17
18 LL ans=extend_gcd(b,a%b,x,y);
19 LL temp=x;
20 x=y;
21 y=temp-(a/b)*y;
22 return ans;
23
24 }
25
26 int main(){
27 LL s1,s2,v1,v2,m;
28 cin>>s1>>s2>>v1>>v2>>m;
29
30 LL A,B,C,D,x,y;
31
32 A = v1 - v2;
33 B = m;
34 C = s2 - s1;
35
36 if (A < 0)
37 A = A + m ;
38 D = gcd(A, B);
39
40 if (C % D)
41 cout<<-1<<endl;
42
43 A = A / D;
44 B = B / D;
45 C = C / D;
46
47 x = extend_gcd(A, B,x,y);
48 x = (x * C) % B;
49 while (x < 0){
50 x = x + B;
51 }
52 cout<<x<<endl;
53
54 }