最短路径算法——弗洛伊德算法（Floyd）

算法的本质

• 用三重循环来清算每个点 对 缩小相邻任意“点对儿”距离的贡献
• 即每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的距离变短
• 贡献核心在于两边之和大于第三边
• 清算完成后即得任意两点的最短路径

算法的基本思想

• 最开始只允许经过1号顶点进行中转
• 接下来只允许经过1和2号顶点进行中转
• ……
• 允许经过1~n号所有顶点进行中转
• 求任意两点之间的最短路程
• 用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程
• 其实这是一种“动态规划”的思想

C语言伪代码表示的算法

void ShortestPath_FLOYD(MGraph G, PathMatrix &P[], DistancMatrix &D){
    // 用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其
    // 带权长度D[v][w]。若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点
    for(v = 0; v < G.vexnum; ++ v)// 各对结点之间初始已知路径及距离
        for(w = 0; w < G.vexnum; ++ w){
            D[v][w] = G.arcs[v][w];
            for(u = 0; u < G.vexnum; ++ u) P[v][w][u] = FALSE;
            if(D[v][w] < INFINITY){// 从v到w有直接路径
                P[v][w][v] = TRUE; P[v][w][w] = TRUE;
            }// if
        }// for
    for(u = 0; u < G.vexnum; ++ u)
        for(v = 0; v < G.vexnum; ++ v)
            for(w = 0; w < G.vexnum; ++ w)
                if(D[v][u] + D[u][w] < D[v][w]){// 从v经u到w的一条路径更短
                    D[v][w] = D[v][u] + D[u][w];
                    for(i = 0; i < G.vexnum; ++ i)
                        P[v][w][i] = P[v][u][i] || P[u][w][i];
                }// if
}// ShortestPath_FLOYD

核心代码就五行

// 核心代码
for(u = 0; u < G.vexnum; ++ u)
    for(v = 0; v < G.vexnum; ++ v)
        for(w = 0; w < G.vexnum; ++ w)
            if(D[v][u] + D[u][w] < D[v][w])// 从v经u到w的一条路径更短
                D[v][w] = D[v][u] + D[u][w];

C语言程序

#include <stdio.h>
int main()
{
    int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
    int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
    //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
    scanf("%d %d",&n,&m);   

    //初始化
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(i==j) e[i][j]=0;
            else e[i][j]=inf;
    //读入边
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
        e[t1][t2]=t3;
    }   

    //Floyd-Warshall算法核心语句
    for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
                    e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];   

    //输出最终的结果
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
         for(j=1;j<=n;j++)
         {
             printf("%10d",e[i][j]);
         }
     printf("\n");
    }   

    return 0;
}