最大公约数（GCD）

题目描述

求整数a、b的最大公约数。

题目分析

所谓求整数a、b的最大公约数，就是求同时满足a%c=0、b%c=0的最大正整数c，即求能够同时整除a和b的最大正整数c。

暴力枚举

若a、b均不为0，则依次遍历不大于a（或b）的所有正整数，依次试验它是否同时满足两式，并在所有满足两式的正整数中挑选最大的那个即为所求；

若a、b其中有一个为0，那么最大公约数即为a、b中非零的那个；

若a、b均为0，则最大公约数不存在（任意数均可同时整除它们）。

说明：当a和b数值较大时（如100000000），该算法耗时较多。

欧几里德算法（又称辗转相除法）

若a、b全为0，则它们的最大公约数不存在；若a、b其中之一为0，则它们的最大公约数为非0的那个；若a、b都不为0，则使新a=b;新b=a%b然后重复该过程。

说明：证明过程见最下边。

代码实现

递归实现

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	if (a == 0 && b == 0)
		return -1; // 不存在

	// a、b为负数时，先求绝对值，再求最大公约数
	if (a < 0)
		a = -a;
	if (b < 0)
		b = -b;

	if (b == 0)
		return a;
	return gcd(b, a%b);
}

int main()
{
	int m, n;
	while (cin >> m >> n)
	{
		cout << gcd(m, n) << endl;
	}
	return 0;
}

循环实现

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	if (a == 0 && b == 0)
		return -1; // 不存在

	// a、b为负数时，先求绝对值，再求最大公约数
	if (a < 0)
		a = -a;
	if (b < 0)
		b = -b;

	while (b != 0)
	{
		int t = a%b;
		a = b;
		b = t;
	}
	return a;
}

int main()
{
	int m, n;
	while (cin >> m >> n)
	{
		cout << gcd(m, n) << endl;
	}
	return 0;
}

欧几里德算法证明

1> 证明a、b的公约数同时也是b、a mod b 的公约数

2> 证明若g是a、b的最大公约数，它同样也是b、a mod b 的最大公约数

我们假设g是a、b的最大公约数，但它并不是b、a mod b 的最大公约数，