BZOJ 1502 NOI 2005 月下柠檬树 计算几何 自适应辛普森积分

题目大意：有一个由圆锥和圆台组成的柠檬树，在月亮发出的平行光下，可以形成一个影子，求这个影子的面积。

思路：理解投影的性质：只要是平行光线，投影在水平面上，所得的图形都与原图形全等。

知道了这一点我们就可以画画图，分析就知道，其实柠檬树的影子，就是一些园和等腰梯形的面积的并。（如下图，样例）

运用计算几何的知识就可以得到圆的方程和圆的公切线的方程，然后得到一个连续的函数。最后这个题就成为一直函数的解析式，求这个函数与X轴之间的面积。

套用辛普森积分：Simpson(l,r) = (F(l) + F(r) + F(mid) * 4) * (r - l) / 6.0，然后递归检查精度，如果左值+右值-总值的绝对值小于精度就返回，否则就递归返回左侧面积和右侧面积。得到一个近似精确的值就是所求的答案。

CODE：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 10000
#define EPS 1e-6
#define INF 0x7f7f7f7f
using namespace std;

struct Circle{
	double length,r;
}circle[MAX];
struct Line{
	double k,b;
	double st,ed;
}line[MAX];

int cnt;
double alpha,start,end;
int lines;

double temp;

double GetArea(double l,double r,double _area);
double Simpson(double l,double r);
double F(double x);

int main()
{
	cin >> cnt >> alpha;
	alpha = 1.0 / tan(alpha);
	cnt++;
	for(int i = 1;i <= cnt; ++i) {
		scanf("%lf",&temp);
		circle[i].length = circle[i - 1].length + temp * alpha;
	}
	for(int i = 1;i <= cnt; ++i)
		for(int j = i + 1;j <= cnt; ++j) {

		}
	start = end = circle[cnt].length;
	for(int i = 1;i < cnt; ++i) {
		scanf("%lf",&circle[i].r);
		start = min(start,circle[i].length - circle[i].r);
		end = max(end,circle[i].length + circle[i].r);
	}
	for(int i = 1;i < cnt; ++i) {
		if(circle[i + 1].length - circle[i].length - fabs(circle[i + 1].r - circle[i].r) < EPS)
			continue;
		double sin_a = (circle[i + 1].r - circle[i].r) / (circle[i + 1].length - circle[i].length);
		double cos_a = sqrt(1.0 - sin_a * sin_a);
		double tan_a = sin_a / cos_a;
		Line *l = &line[++lines];
		l->st = circle[i].length - circle[i].r * sin_a;
		l->ed = circle[i + 1].length - circle[i + 1].r * sin_a;
		l->k = tan_a;
		l->b = circle[i].r * cos_a - l->st * tan_a;
	}
	cout << fixed << setprecision(2) << 2.0 * GetArea(start,end,Simpson(start,end)) << endl;
	return 0;
}

double GetArea(double l,double r,double _area)
{
	double mid = (l + r) / 2.0;
	double l_area = Simpson(l,mid),r_area = Simpson(mid,r);
	if(fabs(l_area + r_area - _area) < EPS)
		return _area;
	return GetArea(l,mid,l_area) + GetArea(mid,r,r_area);
}

double Simpson(double l,double r)
{
	double mid = (l + r) / 2.0;
	return (F(l) + 4.0 * F(mid) + F(r)) * (r - l) / 6.0;
}

double F(double x)
{
	double re = 0.0;
	for(int i = 1;i <= lines; ++i)
		if(x <= line[i].ed && x >= line[i].st)
			re = max(re,line[i].k * x + line[i].b);
	for(int i = 1;i <= cnt; ++i)
		if(x <= circle[i].length + circle[i].r && x >= circle[i].length - circle[i].r)
			re = max(re,sqrt(circle[i].r * circle[i].r - (circle[i].length - x) * (circle[i].length - x)));
	return re;
}