最长递增子序列问题是一个很基本、较常见的小问题，但这个问题的求解方法却并不那么显而易见，需要较深入的思考和较好的算法素养才能得出良好的算法。由于这个问题能运用学过的基本的算法分析和设计的方法与思想，能够锻炼设计较复杂算法的思维，我对这个问题进行了较深入的分析思考，得出了几种复杂度不同算法，并给出了分析和证明。
一， 最长递增子序列问题的描述
设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
二， 第一种算法：转化为LCS问题求解
设序列X=<b1,b2,…,bn>是对序列L=<a1,a2,…,an>按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。
最长公共子序列问题用动态规划的算法可解。设Li=< a1,a2,…,ai>,Xj=< b1,b2,…,bj>，它们分别为L和X的子序列。令C[i,j]为Li与Xj的最长公共子序列的长度。则有如下的递推方程：
这可以用时间复杂度为O(n2)的算法求解，由于这个算法上课时讲过，所以具体代码在此略去。求最长递增子序列的算法时间复杂度由排序所用的O(nlogn)的时间加上求LCS的O(n2)的时间，算法的最坏时间复杂度为O(nlogn)＋O(n2)＝O(n2)。
三， 第二种算法：动态规划法
设f(i)表示L中以ai为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：
这个递推方程的意思是，在求以ai为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于ai的元素aj，即j<i且aj<ai。如果这样的元素存在，那么对所有aj,都有一个以aj为末元素的最长递增子序列的长度f(j)，把其中最大的f(j)选出来，那么f(i)就等于最大的f(j)加上1，即以ai为末元素的最长递增子序列，等于以使f(j)最大的那个aj为末元素的递增子序列最末再加上ai；如果这样的元素不存在，那么ai自身构成一个长度为1的以ai为末元素的递增子序列。
public void lis(float[] L)
{
int n = L.length;
int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值；
f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1；
for(int i = 1;i<n;i++)//循环n-1次
{
f[i]=1;//f[i]的最小值为1；
for(int j=0;j<i;j++)//循环i 次
{
if(L[j]<L[i]&&f[j]>f[i]-1)
f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。
}
}
System.out.println(f[n-1]);
}
最长公共子序列1---求最长公共子序列的长度：
给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）
例如：给定一个长度为8的数组A{1,3,5,2,4,6,7,8}，则其最长的单调递增子序列为{1,2,4,6,7,8}，长度为6.
输入描述:
第一行包含一个整数T，代表测试数据组数。
对于每组测试数据：
N-数组的长度
a1 a2 ... an （需要计算的数组）
保证：
1<=N<=3000,0<=ai<=MAX_INT.
输出描述:
对于每组数据，输出一个整数，代表最长递增子序列的长度。
输入例子:
2 7 89 256 78 1 46 78 8 5 6 4 8 2 17 解题思路：采用动态规划的方法来解，如下：
| 数组array | ai | 89 | 256 | 78 | 1 | 46 | 78 | 8 |
| 长度list | len(ai) | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 |
import java.util.*;
public class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int T = scan.nextInt();
// System.out.println(T);
for(int i=0;i<T;i++){
int N = scan.nextInt();
// System.out.println(N);
int[] num = new int[N];
for(int j=0;j<N;j++){
num[j] = scan.nextInt();
}
System.out.println(lengthOfMaxSubIncreaseArray(num, N));
}
}
public static int lengthOfMaxSubIncreaseArray(int[] array, int n){
if(n==1){
return 1;
}
int maxLen = 0;
int[] list = new int[n];
for(int i=0;i<n;i++){
list[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++){
if(array[j]<array[i]&&list[j]+1>list[i]){
list[i] = list[j]+1;
}
}
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(list[i]>maxLen)
maxLen = list[i];
}
return maxLen;
}
}
最长公共子序列2----求最长公共子序列的第一组序列：
给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）
例如：给定一个长度为8的数组A{1,3,5,2,4,6,7,8}，则其最长的单调递增子序列为{1,2,4,6,7,8}，长度为6.
输入描述:
第一行包含一个整数T，代表测试数据组数。
对于每组测试数据：
N-数组的长度
a1 a2 ... an （需要计算的数组）
保证：
1<=N<=3000,0<=ai<=MAX_INT.
输出描述:
对于每组数据，输出一个整数序列，代表最长递增子序列。
若有多组最长上升子序列，输出第一组。
保证：1<=T<=20,1<=N<=3000,0<=ai<=MAX_INT.
输入例子:
2 7 89 256 78 1 46 78 8 5 6 4 8 2 17
输出例子:
1 46 78 6 8 17