OJ题号：
UOJ38、BZOJ3813
题目大意：
一个长度为$1000000$的数列，提供以下两种操作：
1.修改某一点的数；
2.求某一区间乘积的欧拉函数。
保证每个元素的最大质因数不超过$281$，答案对$19961933$取模。
思路：
$\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_l})$，其中$p$为$n$的不同的质因数。
可以发现欧拉函数值只与$n$和$p$有关。
所以可以用线段树维护每个区间的乘积，因为$281$是第$60$个质数，因此可以再用一个unsigned long long压位存储每个质数是否出现。
最后套用欧拉函数公式，除法运算相当于乘以逆元。
实现细节：
注意位运算中的1<<i默认是int类型，要转为1ull<<i，否则会WA5个点。
1 #include<map>
2 #include<cmath>
3 #include<cstdio>
4 #include<cctype>
5 #include<vector>
6 inline int getint() {
7 char ch;
8 while(!isdigit(ch=getchar()));
9 int x=ch^‘0‘;
10 while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^‘0‘);
11 return x;
12 }
13 const int N=1000001,n=1000000,mod=19961993;
14 std::map<int,int> id;
15 inline bool isPrime(const int x) {
16 for(int i=2;i<=floor(sqrt(x));i++) if(!(x%i)) return false;
17 return true;
18 }
19 std::vector<int> v;
20 int inv[282];
21 class SegmentTree {
22 #define mid ((b+e)>>1)
23 #define _left <<1
24 #define _right <<1|1
25 private:
26 int val[N<<2];
27 unsigned long long prime[N<<2];
28 void push_up(const int p) {
29 val[p]=(long long)val[p _left]*val[p _right]%mod;
30 prime[p]=prime[p _left]|prime[p _right];
31 }
32 std::pair<int,unsigned long long> query(const int p,const int b,const int e,const int l,const int r) {
33 if((b==l)&&(e==r)) return std::make_pair(val[p],prime[p]);
34 std::pair<int,unsigned long long> q1=std::make_pair(1,0),q2=std::make_pair(1,0),ret;
35 if(l<=mid) q1=query(p _left,b,mid,l,std::min(mid,r));
36 if(r>mid) q2=query(p _right,mid+1,e,std::max(mid+1,l),r);
37 ret.first=(long long)q1.first*q2.first%mod;
38 ret.second=q1.second|q2.second;
39 return ret;
40 }
41 public:
42 void build(const int p,const int b,const int e) {
43 if(b==e) {
44 val[p]=3;
45 prime[p]=2;
46 return;
47 }
48 build(p _left,b,mid);
49 build(p _right,mid+1,e);
50 push_up(p);
51 }
52 void modify(const int p,const int b,const int e,const int x,const int y) {
53 if(b==e) {
54 val[p]=y;
55 prime[p]=0;
56 for(unsigned i=0;i<v.size();i++) {
57 if(!(y%v[i])) prime[p]|=1ull<<i;
58 }
59 return;
60 }
61 if(x<=mid) modify(p _left,b,mid,x,y);
62 if(x>mid) modify(p _right,mid+1,e,x,y);
63 push_up(p);
64 }
65 int phi(const int p,const int b,const int e,const int l,const int r) {
66 std::pair<int,unsigned long long> tmp=query(1,1,n,l,r);
67 int ans=tmp.first;
68 for(unsigned i=0;i<60;i++) {
69 if(tmp.second&(1ull<<i)) {
70 ans=(long long)ans*(v[i]-1)%mod*inv[v[i]]%mod;
71 }
72 }
73 return ans;
74 }
75 };
76 SegmentTree t;
77 int main() {
78 inv[1]=1;
79 for(int i=2,cnt=0;i<=281;i++) {
80 if(isPrime(i)) {
81 id[i]=cnt++;
82 v.push_back(i);
83 }
84 inv[i]=(long long)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
85 }
86 int x=getint();
87 t.build(1,1,n);
88 for(int i=1;i<=x;i++) {
89 int a=getint(),b=getint(),c=getint();
90 if(a) {
91 t.modify(1,1,n,b,c);
92 }
93 else {
94 printf("%d\n",t.phi(1,1,n,b,c));
95 }
96 }
97 return 0;
98 }
事实上质数只有60个，所以可以直接打表。
1 #include<cstdio>
2 #include<cctype>
3 #include<algorithm>
4 inline int getint() {
5 char ch;
6 while(!isdigit(ch=getchar()));
7 int x=ch^‘0‘;
8 while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^‘0‘);
9 return x;
10 }
11 const int N=1000001,n=1000000,mod=19961993;
12 const int v[60]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281};
13 const int inv[60]={9980997,6653998,11977196,8555140,5444180,1535538,10568114,14708837,3471651,11701858,17386252,1618540,16066970,2321162,18263100,16948862,12518538,15380552,10725847,1686929,13399146,17182475,12025297,15924736,13582387,395287,6395590,15857658,16299242,6359573,3300802,18742940,6702567,10914471,16210746,11765678,5340151,18247466,7769638,8077107,11932588,6506948,1985748,6619521,5877135,4413707,9744480,10115270,14597757,16475182,18334191,5011379,18885205,7555336,621385,11309266,12170137,12006660,18304499,11153142};
14 class SegmentTree {
15 #define mid ((b+e)>>1)
16 #define _left <<1
17 #define _right <<1|1
18 private:
19 int val[N<<2];
20 unsigned long long prime[N<<2];
21 void push_up(const int p) {
22 val[p]=(long long)val[p _left]*val[p _right]%mod;
23 prime[p]=prime[p _left]|prime[p _right];
24 }
25 std::pair<int,unsigned long long> query(const int p,const int b,const int e,const int l,const int r) {
26 if((b==l)&&(e==r)) return std::make_pair(val[p],prime[p]);
27 std::pair<int,unsigned long long> q1=std::make_pair(1,0),q2=std::make_pair(1,0),ret;
28 if(l<=mid) q1=query(p _left,b,mid,l,std::min(mid,r));
29 if(r>mid) q2=query(p _right,mid+1,e,std::max(mid+1,l),r);
30 ret.first=(long long)q1.first*q2.first%mod;
31 ret.second=q1.second|q2.second;
32 return ret;
33 }
34 public:
35 void build(const int p,const int b,const int e) {
36 if(b==e) {
37 val[p]=3;
38 prime[p]=2;
39 return;
40 }
41 build(p _left,b,mid);
42 build(p _right,mid+1,e);
43 push_up(p);
44 }
45 void modify(const int p,const int b,const int e,const int x,const int y) {
46 if(b==e) {
47 val[p]=y;
48 prime[p]=0;
49 for(unsigned i=0;i<60;i++) {
50 if(!(y%v[i])) prime[p]|=1ull<<i;
51 }
52 return;
53 }
54 if(x<=mid) modify(p _left,b,mid,x,y);
55 if(x>mid) modify(p _right,mid+1,e,x,y);
56 push_up(p);
57 }
58 int phi(const int p,const int b,const int e,const int l,const int r) {
59 std::pair<int,unsigned long long> tmp=query(1,1,n,l,r);
60 int ans=tmp.first;
61 for(unsigned i=0;i<60;i++) {
62 if(tmp.second&(1ull<<i)) {
63 ans=(long long)ans*(v[i]-1)%mod*inv[i]%mod;
64 }
65 }
66 return ans;
67 }
68 };
69 SegmentTree t;
70 int main() {
71 t.build(1,1,n);
72 for(int x=getint();x;x--) {
73 int a=getint(),b=getint(),c=getint();
74 if(a) {
75 t.modify(1,1,n,b,c);
76 }
77 else {
78 printf("%d\n",t.phi(1,1,n,b,c));
79 }
80 }
81 return 0;
82 }
时间： 2024-10-22 03:59:45