扩展欧几里德算法详解

扩展欧几里德算法

谁是欧几里德？自己百度去

先介绍什么叫做欧几里德算法

有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的na?ve ，那怎么做？

欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下：

由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？

现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：

x = x0 + (b/gcd)*t

y = y0 – (a/gcd)*t

为什么不是：

x = x0 + b*t

y = y0 – a*t

这个问题也是在今天早上想通的，想通之后忍不住喷了自己一句弱逼。那是因为：

b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？

注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗？要是实在还有什么不明白的，看看《基础数论》（哈尔滨工业大学出版社），这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚

现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。

我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd

当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？

假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？

我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：

gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？

这里：

x = y1

y = x1 – a/b*y1

以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：

依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。

这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

扩展欧几里德有什么用处呢？

求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元

什么叫乘法逆元？

这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

可以这样思考：

x 的通解不是 x0 + m*t 吗？

那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？

当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：

还有最小整数解之类的问题，但都是大同小异，只要细心的推一推就出来了，这里就不一一介绍了，下面给一些题目还有AC代码，仅供参考

ZOJ 3609 ：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4712 求最小逆元

[cpp] view plain copy

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. #include <cstring>
  4. #include <cmath>
  5. #include <vector>
  6. #include <string>
  7. #include <queue>
  8. #include <stack>
  9. #include <algorithm>
  10. #define INF 0x7fffffff
  11. #define EPS 1e-12
  12. #define MOD 1000000007
  13. #define PI 3.141592653579798
  14. #define N 100000
  15. using namespace std;
  16. typedef long long LL;
  17. typedef double DB;
  18. LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
  19. {
  20. if(b==0)
  21. {
  22. x=1;
  23. y=0;
  24. return a;
  25. }
  26. LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
  27. LL temp=x;
  28. x=y;
  29. y=temp-a/b*y;
  30. return ans;
  31. }
  32. LL cal(LL a,LL b,LL c)
  33. {
  34. LL x,y;
  35. LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
  36. if(c%gcd!=0) return -1;
  37. x*=c/gcd;
  38. b/=gcd;
  39. if(b<0) b=-b;
  40. LL ans=x%b;
  41. if(ans<=0) ans+=b;
  42. return ans;
  43. }
  44. int main()
  45. {
  46. LL a,b,t;
  47. scanf("%lld",&t);
  48. while(t--)
  49. {
  50. scanf("%lld%lld",&a,&b);
  51. LL ans=cal(a,b,1);
  52. if(ans==-1) printf("Not Exist\n");
  53. else printf("%lld\n",ans);
  54. }
  55. return 0;
  56. }

ZOJ 3593 http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3593 求最小的步数，处理特殊一点就过去了

[cpp] view plain copy

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. #include <cstring>
  4. #include <cmath>
  5. #include <string>
  6. #include <vector>
  7. #include <stack>
  8. #include <queue>
  9. #include <algorithm>
  10. #define INF 0x7fffffff
  11. #define EPS 1e-12
  12. #define MOD 100000007
  13. #define PI 3.14159265357979823846
  14. #define N 100005
  15. using namespace std;
  16. typedef long long LL;
  17. LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
  18. {
  19. if(b==0)
  20. {
  21. x=1;
  22. y=0;
  23. return a;
  24. }
  25. LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
  26. LL temp=x;
  27. x=y;
  28. y=temp-a/b*y;
  29. return ans;
  30. }
  31. LL cal(LL a,LL b,LL L)
  32. {
  33. LL x,y;
  34. LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
  35. if(L%gcd!=0) return -1;
  36. x*=L/gcd;
  37. y*=L/gcd;
  38. a/=gcd;
  39. b/=gcd;
  40. LL ans=((LL)INF)*((LL)INF), f;
  41. LL mid=(y-x)/(a+b);
  42. for(LL T=mid-1;T<=mid+1;T++)
  43. {
  44. if(abs(x+b*T)+abs(y-a*T)==abs(x+b*T+y-a*T))
  45. f=max(abs(x+b*T),abs(y-a*T));
  46. else
  47. f=fabs(x-y+(a+b)*T);
  48. ans=min(ans,f);
  49. }
  50. return ans;
  51. }
  52. int main()
  53. {
  54. //freopen("in.in","r",stdin);
  55. //freopen("out.out","w",stdout);
  56. LL A,B,a,b,x,y;
  57. int t; scanf("%d",&t);
  58. while(t--)
  59. {
  60. scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&a,&b);
  61. LL L=B-A;
  62. LL ans=cal(a,b,L);
  63. if(ans==-1) printf("-1\n");
  64. else printf("%lld\n",ans);
  65. }
  66. return 0;
  67. }

POJ 1061 http://poj.org/problem?id=1061 青蛙的约会，裸的扩展欧几里得

[cpp] view plain copy

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. #include <cstring>
  4. #include <cmath>
  5. #include <vector>
  6. #include <string>
  7. #include <queue>
  8. #include <stack>
  9. #include <algorithm>
  10. #define INF 0x7fffffff
  11. #define EPS 1e-12
  12. #define MOD 1000000007
  13. #define PI 3.141592653579798
  14. #define N 100000
  15. using namespace std;
  16. typedef long long LL;
  17. typedef double DB;
  18. LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
  19. {
  20. if(b==0)
  21. {
  22. x=1;
  23. y=0;
  24. return a;
  25. }
  26. LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
  27. LL temp=x;
  28. x=y;
  29. y=temp-a/b*y;
  30. return ans;
  31. }
  32. LL cal(LL a,LL b,LL c)
  33. {
  34. LL x,y;
  35. LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
  36. if(c%gcd!=0) return -1;
  37. x*=c/gcd;
  38. b/=gcd;
  39. if(b<0) b=-b;
  40. LL ans=x%b;
  41. if(ans<=0) ans+=b;
  42. return ans;
  43. }
  44. int main()
  45. {
  46. LL x,y,m,n,L;
  47. while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
  48. {
  49. LL ans=cal(m-n,L,y-x);
  50. if(ans==-1) printf("Impossible\n");
  51. else printf("%lld\n",ans);
  52. }
  53. return 0;
  54. }

HDU 1576 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576 做点处理即可

[cpp] view plain copy

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. #include <cstring>
  4. #include <cmath>
  5. #include <vector>
  6. #include <string>
  7. #include <queue>
  8. #include <stack>
  9. #include <algorithm>
  10. #define INF 0x7fffffff
  11. #define EPS 1e-12
  12. #define MOD 1000000007
  13. #define PI 3.141592653579798
  14. #define N 100000
  15. using namespace std;
  16. typedef long long LL;
  17. typedef double DB;
  18. LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
  19. {
  20. if(b==0)
  21. {
  22. x=1;
  23. y=0;
  24. return a;
  25. }
  26. LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
  27. LL temp=x;
  28. x=y;
  29. y=temp-a/b*y;
  30. return ans;
  31. }
  32. LL cal(LL a,LL b,LL c)
  33. {
  34. LL x,y;
  35. LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
  36. if(c%gcd!=0) return -1;
  37. x*=c/gcd;
  38. b/=gcd;
  39. if(b<0) b=-b;
  40. LL ans=x%b;
  41. if(ans<=0) ans+=b;
  42. return ans;
  43. }
  44. int main()
  45. {
  46. LL n,b,t;
  47. scanf("%I64d",&t);
  48. while(t--)
  49. {
  50. scanf("%I64d%I64d",&n,&b);
  51. LL ans=cal(b,9973,n);
  52. if(ans==-1) printf("Impossible\n");
  53. else printf("%lld\n",ans);
  54. }
  55. return 0;
  56. }

HDU 2669 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669 裸的扩展欧几里得

[cpp] view plain copy

  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. #include <cstring>
  4. #include <cmath>
  5. #include <vector>
  6. #include <string>
  7. #include <queue>
  8. #include <stack>
  9. #include <algorithm>
  10. #define INF 0x7fffffff
  11. #define EPS 1e-12
  12. #define MOD 1000000007
  13. #define PI 3.141592653579798
  14. #define N 100000
  15. using namespace std;
  16. typedef long long LL;
  17. typedef double DB;
  18. LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
  19. {
  20. if(b==0)
  21. {
  22. x=1;
  23. y=0;
  24. return a;
  25. }
  26. LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
  27. LL temp=x;
  28. x=y;
  29. y=temp-a/b*y;
  30. return ans;
  31. }
  32. LL cal(LL a,LL b,LL c)
  33. {
  34. LL x,y;
  35. LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
  36. if(c%gcd!=0) return -1;
  37. x*=c/gcd;
  38. b/=gcd;
  39. if(b<0) b=-b;
  40. LL ans=x%b;
  41. if(ans<=0) ans+=b;
  42. return ans;
  43. }
  44. int main()
  45. {
  46. LL a,b;
  47. while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF)
  48. {
  49. LL ans=cal(a,b,1);
  50. if(ans==-1) printf("sorry\n");
  51. else printf("%I64d %I64d\n",ans,(1-ans*a)/b);
  52. }
  53. return 0;
  54. }

暂时就这么多了吧

时间： 2024-10-23 18:01:39

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一,题意: 有两个类型的砝码,质量分别为a,b;现在要求称出质量为d的物品, 要用多少a砝码(x)和多少b砝码(y),使得(x+y)最小.(注意:砝码位置有左右之分). 二,思路: 1,砝码有左右位置之分,应对比两种情况 i,a左b右,得出方程 ax1 - by1 = d ; ii,b左a右,得出方程 bx2 - ay2 = d . 2,利用扩展欧几里德算法,解出(x1,y1).(x2,y2),并求出最小x1和x2,以及相对应的y1,y2. 3,输出x1+y1和x2+y2 中的最小值. 三,步骤

扩展欧几里德算法

文章来源:http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595 谁是欧几里德?自己百度去 先介绍什么叫做欧几里德算法 有两个数 a b,现在,我们要求 a b 的最大公约数,怎么求?枚举他们的因子?不现实,当 a b 很大的时候,枚举显得那么的na?ve ,那怎么做? 欧几里德有个十分又用的定理: gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ,这样,我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了

欧几里德与扩展欧几里德算法（转）

欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b). 第一种证明: a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是a

欧几里德与扩展欧几里德算法

转自网上大牛博客,讲的浅显易懂. 原文地址:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b). 第一种证明: a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有

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原文转自:http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6793192 AC算法是Alfred V.Aho(<编译原理>(龙书)的作者),和Margaret J.Corasick于1974年提出(与KMP算法同年)的一个经典的多模式匹配算法,可以保证对于给定的长度为n的文本,和模式集合P{p1,p2,...pm},在O(n)时间复杂度内,找到文本中的所有目标模式,而与模式集合的规模m无关.正如KMP算法在单模式匹配方面的突出贡献一样,AC算法对于

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