【RMQ】【Sparse_Table算法】

定义：

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：

　　对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j) (i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。

此类问题的解决方法有很多，暴力（当然也就说说，基本没有出题的会让你暴过去）、线段树（复杂度为O(nlogn)）、以及一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法 -- Sparse_Table算法，简称ST算法，该算法能在进行O(nlogn)的预处理后达到查询O(1)的效率。主要思想为dp。

（一）预处理，DP

设A[i]是要求区间最值的数列，dp[i][j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。

例如有A[10] = 3 2 4 5 6 8 1 2 9 7;

初值：

dp[1][0]表示第1个数起，长度为2⁰=1的最大值，即元素3。同理 F[1][1] = max(3,2) = 3, F[1][2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1][3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出dp[i][0] = A[i]。

状态转移方程：

我们把dp[i][j]分成长度相同且为2^j-1的两段，一段为dp[i][2^{j - 1}], 一段为dp[i+2^{j - 1}][2^{j - 1}]。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。

dp[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程:

　　dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i + 2^(j-1)][j-1];

1 /*预处理->O(nlogn)*/
2 void initRMQ(int n)
3 {
4     for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = A[i];
5     for(int j = 1; j < 20; i++)
6         for(int i = 1; i <= n; j++)
7             dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i + (1 << (j-1))][j-1]);
8 }

    注意代码中循环的顺序，外层是j，内层是i！！

（二）查询

若查询区间为A[i, j]，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可重叠，比如查询A[5,9]，我们可以查询A[5678]和A[6789]）。

因为这个区间的长度len = j - i + 1,所以我们可以取k=log2(len)，则有：RMQ(A, i, j) = max{ dp[i][k], dp[j-2^k+1][k] }。

例如，查询区间[2，8]的最大值，k = log2(8 - 2 + 1) = 2，即求max( dp[2][2]，dp[8 - 2 ^ 2 + 1][2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

int Log2[maxn];
void init()
{
    Log2[0] = -1; Log2[1] = 0;
    int i, j;
    for(i = 2, j = 0; i < maxn; i++)
    {
        if(i > (1<<(j+1))) j++;
        Log2[i] = j;
    }
}

int query(int L, int R)
{
    if(L > R) swap(L, R);
    if(L == R) return dp[L][0];
    int len = R-L+1;
    int k = Log[len]; //此处用的是Log2[]数组保存每个数的log值，当然也可以用下面的式子求得；
    //int k = (int)(log(des - src + 1.0) / log(2.0));
    return max(dp[L][k], dp[R-(1<<k)+1][k]);
}