[算法]线段树（IntervalTree）

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　　线段树是一颗二叉搜索树，线段树将一个区间划分成一些单元区间，每一个区间对应线段树的一个叶节点。对于线段树的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

线段树的特征：

　　1.线段树的长度不超过logL（L是最长区间的长度）。

　　2.线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。

　　这些结论为线段树能够在O(logL)时间内完成一条线段的插入，删除，查找等工作，提供了理论依据。

线段树的用途：

　　线段树适用于和区间统计有关的问题。比如某些数据可以按区间进行划分，按区间动态进行修改，而且还需要按区间多次进行查询，那么使用线段树可以达到较快查询速度。

　数据结构：　　

typedef struct IntervalTree
{
    int right;
    int left;
    IntervalTree* right_child;
    IntervalTree* left_child;
    /*other information*/    //通常为了解题需要记录其他的信息。
}IntervalTree;

在线段上建树：

IntervalTree* buildTree(int a,int b)
{
    IntervalTree* tree = new IntervalTree;
    tree->right = b;
    tree->left = a;
    tree->right_child = NULL;
    tree->left_child = NULL;
    if(b > a)
    {
    　　int mid = (a + b)/2;
    　　tree->right_child = buildTree(mid+1,b);
    　　tree->left_child = buildTree(a,mid);
    }
    return tree;
}
//通常线段上会记录其他的信息，需要在建树时同时记录到树的每一个node。 

线段树通常引入为了解决关于区间的问题，在树中插入线段，删除线段，查询线段的方法都和具体问题有关，我们以下面的问题为例：　

已知范围A1....An，在该范围内不断进行插入新线段(Ai...Aj,1<=i<=j<=n)，删除线段(Ai...Aj,1<=i<=j<=n)的操作，最后求某个线段被覆盖的次数？

为了解决这个问题，我们在线段A1...An上建树，并且在线段树中保存被覆盖的次数cover。

数据结构：　　

typedef struct IntervalTree
{
    int right;
    int left;
    int cover;//保存被覆盖的次数。
    IntervalTree* right_child;
    IntervalTree* left_child;
}IntervalTree;

建树：

IntervalTree* buildTree(int a,int b)
{
    IntervalTree* tree = new IntervalTree;
    tree->right = b;
    tree->left = a;
    tree->cover = 0;//初始时cover为0
    tree->right_child = NULL;
    tree->left_child = NULL;
    if(b > a)
    {
    　　int mid = (a + b)/2;
    　　tree->right_child = buildTree(mid+1,b);
    　　tree->left_child = buildTree(a,mid);
    }
    return tree;
}

插入新线段：

void insert(int a,int b,IntervalTree* tree)
{
    if(tree->right == b && tree->left == a)
    {
        tree->cover++;
        return;
    }
    int mid = (tree->left + tree->right)/2;
    if(a > mid)
    {
        insert(a,b,tree->right_child);
    }
    else if(b <= mid)
    {
        insert(a,b,tree->left_child);
    }
    else
    {
        insert(a,mid,tree->left_child);
        insert(mid+1,b,tree->right_child);
    }
}

删除线段：

void delete_interval(int a,int b,IntervalTree* tree)
{
    if(tree->right == b && tree->left == a)
    {
        tree->cover--;
        return;
    }
    int mid = (tree->left + tree->right)/2;
    if(a > mid)
    {
        delete_interval(a,b,tree->right_child);
    }
    else if(b <= mid)
    {
        delete_interval(a,b,tree->left_child);
    }
    else
    {
        delete_interval(a,mid,tree->left_child);
        delete_interval(mid+1,b,tree->right_child);
    }
}

查询线段覆盖次数：

int query(int a,int b,IntervalTree* tree)
{
    if(tree->right == b && tree->left == a)
    {
        return tree->cover;
    }
    int mid = (tree->right + tree->left)/2;
    if(a > mid)
    {
        return tree->cover + query(a,b,tree->right_child);
    }
    else if(b <= mid)
    {
        return tree->cover + query(a,b,tree->left_child);
    }
    else
    {
        int cover_right = query(mid+1,b,tree->right_child);
        int cover_left = query(a,mid,tree->left_child);
        return tree->cover + ((cover_right > cover_left) ? cover_right : cover_left);
    }
}

线段树应用举例：POJ 3264:Balanced Lineup:http://www.cnblogs.com/StartoverX/p/4618041.html