前面给出的导数定义都依赖于函数极限的概念，我们对极限只做了最简短的解释。现在，我们已经知道了这一概念的目的，接下来关心一下它的意义。
考虑函数f(x)，自变量在点a的领域内都有定义，但是a 点本身没定义。假设存在一个实数值L，当x越来越接近a时，f(x)越来越接近L(图1)。对于这种情况我们说L是x趋近a时f(x)的极限，用符号表示为
limx→af(x)=L.(1)
图1
如果不存在这样的实数 L，我们说x趋近a时f(x)没有极限，或者limx→af(x) 不存在。另一种和(1)等价且被广泛使用的符号是
f(x)→Lasx→a
现在考虑(1)式的意义，x等于a时f(x)会如何是没有意义的；而对于x接近a时的f(x)值才是有意义的，理解这一点非常重要。
对于(1)式来说，这些非正式的描述对我们直观的理解非常有利，并且对于实际需求也足够了。然而，作为定义，他们又不严谨也不精确，因为有越来越接近和趋近这样的含糊用语。(1)式的精确意义非常重要，所以我们不能只留给学生去想象。我们尽可能简洁又清晰的给出一个令人满意的定义。接下来的部分，阅读的时候最好比平时更仔细些，及饬令他们自然的不耐烦用什么似乎是过度的挑剔的精度。
首先分析一个具体的实例，希望从中可以提取出通用情况的本质
limx→02x2+xx=1
这里我们必须验证的函数是
y=f(x)=2x2+xx
这个函数在x=0处无定义，除了x≠0外的所有x，化简表达式的
f(x)=x(2x+1)x=2x+1.
从图2中，我们可以清楚的看到，当x趋近于0时，f(x) 趋近于1。为了给出定量的描述，我们需要f(x)与极限值1之差的公式：
f(x)?1=(2x+1)?1=2x.
图2
从公式中可以看到f(x)可以越来越接近1，也就是说，当x无线靠近0时，这个差可以变得任意小。
f(x)?1f(x)?1==1100 whenx=120011000whenx=12000
更一般的，让?是任意正数，无论多小，定义δ为它的一半δ=12?。那么当x和0的距离小于δ时，f(x)到1的距离将小于?；也就是
if|x|<δ=12?then|f(x)?1|=2|x|<?.
这个说法比x趋近0时f(x)趋近1的模糊说法更精确。它精确地告诉我们x必须接近0到什么程度时，才能保证f(x) 靠近1的程度。当然，x不能等于0，因为x=0处f(x)没意义。
现在这个??δ定义应该很容易掌握了:对于任意一个正数?，存在一个正数δ，使得
|f(x)?L|<?
其中x≠a，且满足不等式
|x?a|<δ
换句话说：如果给定一个?>0，那么可以找到这样的一个正数δ，满足当x在a的δ邻域内时，f(x)将在L的?邻域内。跟之前一样，我们只关心x=a附近的f(x)行为，不在乎x=a处发生什么。
用函数y=f(x)的图像来解释这个想法会更直观一些，如图3。图中，2?是水平带的宽度，它的中心线是y=L，2δ是垂直带的宽度，它的中心线是x=a，上面的定义可以表达为
对于每条水平带，无论它多窄，存在这样的一条垂直带，如果x≠a限定在垂直带内，那么对应部分限定在水平带内。
图3
(1)式的精确定义应该是我们最关注的，并且它在微积分理论中扮演着重要的角色。但是，对于极限直观的理解足够满足我们的实际需要，从这个层面来说，下面的例子现在应该不难解决了。
例1：首先
limx→2(3x+4)=10
当x趋近2时，3x趋近6，3x+4趋近6+4=10。下一个
limx→1x2?1x?1=limx→1(x+1)(x?1)x?1=limx→1(x+1)=2
我们首先注意到函数(x2?1)/(x?1)在x=1处没有定义，因为此时分子分母均等于0。但是这无关紧要，因为重要的是x在1附近而不是1处的函数行为，所以对所有x均可进行消去操作，得到x+1，它趋近2。
例2：考虑一些极限不存在的函数是非常有启发意义的。例如图4，这些极限行为通过图像都很容易理解。第一种情况，当x为正数时，函数等于1，当x为负数时，函数等于?1，在x=0处没有定义，所以当x趋近0时，函数不存在一个确定的数。专业点来说就是极限不存在，记为
limx→0+x|x|=1limx→0?x|x|=?1.
图4
符号x→0+和x→0?表明变量x分别从正向(右边)和反向(左边)趋近0。另外两个极限因为x趋近0时绝对值任意大所以也不存在极限。用符号表示就是
limx→0+1x=∞,limx→0?1x=?∞,limx→01x2=∞.
记住：(1)式中的数L必须是实数；L=∞不符合要求。
计算极限的主要规则就是我们期待的那样。例如
limx→ax=a;
如果c是常数，那么
limx→ac=c.
还有，如果limx→af(x)=L，limx→ag(x)=M，那么
limx→a[f(x)+g(x)]limx→a[f(x)?g(x)]limx→af(x)g(x)limx→af(x)g(x)====L+M,L?M,LM,LM(M≠0).
也就是说，和的极限是极限的和，差，乘和商同样满足。这些叫做极限法则或者极限定理。
我们之前说过微积分是解决问题的一种技能，不是逻辑的分支。相比于演绎推理，它更多的是处理直观理解带来的方法。当然了，我们将试图让读者相信我们论述的真实性和过程的合法性。然而，为了避免用大量难理解的理论材料充斥文本，我们尽可能简洁，不那么正式的表达。（对于这里陈述的极限性质，相关证明随后会以番外的形式给出，敬请期待哦）
在结束本部分主题之前，我们讨论两个具体的三角极限。之后会发现他们非常重要。第一个是
limθ→0sinθθ(2)
注意，这里的θ是弧度。我们不能简单的设θ=0，因为结果将是无意义的等式0/0。我们注意到它不同于下面的代数极限，
limx→03x2+2xx=limx→0x(3x+2)x=limx→0(3x+2)=2
因为sinθ无法明显的消去θ。为了对(2)式的函数行为有个印象，我们计算几个很小的θ对应的比值。我们注意到，如果用?θ代替θ，我们有
sin?θ?θ=?sinθ?θ=sinθθ
所以我们只关于正的θ。利用计算器我们得到几个八位小数值(表1)。这些值说明(但不能证明!)
表1
limθ→0sinθθ=1.(3)
现在我们从几何角度来证实(3)式。让P，Q是单位圆上彼此濒临的两个点(图5)，让PQ??????和PQ?表示两点的弦长和弧长。那么当两点移动到一起时，弦长比弧长趋近于1
chord length PQ??????arc length PQ?→1asPQ?→0.
图5
对于图中的符号，这个几何陈述等价于
2sinθ2θ=sinθθ→1as2θ→0orθ→0,
这就是(3)式。
第二个极限是
limθ→01?cosθθ=0.(4)
利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1以及(3)式得：
limθ→01?cosθθ======limθ→0(1?cosθθ?1+cosθ1+cosθ)limθ→01?cos2θθ(1+cosθ)limθ→0sin2θθ(1+cosθ)limθ→0(sinθθ?sinθ1+cosθ)(limθ→0sinθθ)(sinθ1+cosθ)1?01+1=0.
最后一步用到了当θ→0时sinθ→0，cosθ→1，从图5的sinθ和cosθ几何意义可以很容易证实他们。