莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯反演，之前做过一些题，一直没有太理解，膜了下faebdc学长的姿势，终于搞懂了一些。

首先我们有两个式子：

1:∑d|n?(d)=n2:∑d|nμ(d)=e(n)

1式证明:对于n的质因数x对?(n)贡献了(x?1)?xt?1

单独对于x而言约数可以为x0,x1,...,xt,设约数xt?1满足以上式子；

则对于xt而言有xt?1+(x?1)?xt?1=xt，同样成立，归纳法得证。

2式证明，这与莫比乌斯函数性质有关。

然后我们就可以推式子了：

1Dgcd

∑ni=1gcd(i,n)=∑ni=1∑d|gcd(i,n)?(d)=∑ni=1∑d|i,d|n?(d)=∑d|n?(d)?nd?

2Dgcd

∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)=∑ni=1∑mj=1∑d|i,d|j?(d)=∑min(n,m)d=1?(d)?nd??md?

1D[gcd==1]

∑ni=1e(gcd(i,n))=∑ni=1∑d|i,d|nμ(d)=∑d|nμ(d)?nd?

2D[gcd==k]

∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)==k]=∑?nk?i=1∑?mk?j=1e(gcd(i,j))=∑?nk?i=1∑?mk?j=1∑d|i,d|jμ(d)=∑min(?nk?,?mk?)i=1μ(d)?nkd??mkd?

2D lcm

我们定义sum(n,m)=∑ni=1∑mj=1i?j

∑ni=1∑mj=1lcm(i,j)=∑ni=1∑mj=1i?jgcd(i,j)

=∑?nd?i=1∑?md?j=1di?djde(gcd(i,j))

=∑min(n,m)d=1d∑?nd?i=1∑?md?j=1i?je(gcd(i,j))

=∑min(n,m)d=1d∑min(?nd?,?md?)k=1μ(k)?k2?sum(??nd?k?,??md?k?)

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