hihoCoder #1151 : 骨牌覆盖问题·二 （矩阵快速幂，DP）

题意：给一个3*n的矩阵，要求用1*2的骨牌来填满，有多少种方案？

思路：

　　官网题解用的仍然是矩阵快速幂的方式。复杂度O(logn*8³)。

　　这样做需要构造一个2³*2³的矩阵，这个矩阵自乘n-1次，再来乘以初始矩阵init{0,0,0,0,0,0,0,1}后，变成矩阵ans{x,x,x,x,x,x,x,y}，y就是答案了，而x不必管。

　　主要在这个矩阵的构造，假设棋盘是放竖直的（即n*3），那么考虑在第i行进行填放，需要考虑到第i-1行的所有可能的状态（注意i-2行必须是已经填满了，否则第i行无法填到i-2行去）。放的时候有个规则，就是所放的每块1*2的骨牌，必须放有一半以上是在第i行的，而且不允许放到第i+1行去。其实就是根据3种选择来考虑变换，（1）不放（2）放横（3）放竖。

　　下图假设即将填第i+1行。

　　上图的编号代表了第i行的状态。

　　上图就是从第i行可以转移到第i+1行的状态。matrix[i][j]表示第i行的状态i转移到第i+1行的状态j的方案数，空格为0。

　　举个例子：第i行的状态为3，那么它只放一块骨牌时（即填满右上角的一个空格），转为4。如果放两块（即在4的基础上再放一块横的），就转为7。

　　上面只需要特别注意所假设的东西，而且要按照规则来放才行。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #define pii pair<int,int>
 6 #define INF 0x3f3f3f3f
 7 #define LL long long
 8 using namespace std;
 9 const int N=1e5+2;
10 const int mod=12357;
11 int M[8][8]={0,0,0,0,0,0,0,1,
12              0,0,0,0,0,0,1,0,
13              0,0,0,0,0,1,0,0,
14              0,0,0,0,1,0,0,1,
15              0,0,0,1,0,0,0,0,
16              0,0,1,0,0,0,0,0,
17              0,1,0,0,0,0,0,1,
18              1,0,0,1,0,0,1,0};  //初始矩阵M
19
20 int init[8]={0,0,0,0,0,0,0,1};  //初始状态
21 int tot[8][8], cur[8][8], grid[8][8];   //临时的矩阵
22
23 void mul(int A[][8],int B[][8]) //处理两个8*8的矩阵相乘，并保存到A中
24 {
25     for(int i=0; i<8; i++)
26     {
27         for(int j=0; j<8; j++)
28         {
29             int tmp=0;
30             for(int k=0; k<8; k++)
31             {
32                 tmp+=A[i][k]*B[k][j];
33                 tmp%=mod;
34             }
35             grid[i][j]=tmp;
36         }
37     }
38     memcpy(A, grid, sizeof(grid));
39 }
40
41
42 int cal(int n)
43 {
44     memcpy(tot, M, sizeof(M));
45     memcpy(cur, M, sizeof(M));
46     n--;    //tot已经是2^0了，所以自减1.
47     while(n)
48     {
49         if(n&1==1)    mul(tot, cur);   //末位为1时，累乘到tot中
50         mul(cur, cur);                 //翻倍
51         n>>=1;
52     }
53     for(int i=0,tmp=0; i<8; i++,tmp=0)  //最后两个矩阵
54     {
55         for(int j=0; j<8; j++)
56         {
57             tmp+=tot[i][j]*init[j];
58             tmp%=mod;
59         }
60         grid[0][i]=tmp;
61     }
62     return grid[0][7];
63 }
64
65 int main()
66 {
67     //freopen("input.txt", "r", stdin);
68     int n;
69     while(~scanf("%d",&n))    printf("%d\n", cal(n));
70     return 0;
71 }

AC代码

　　还有一种方案仅需0ms。即递推，这个需要研究一下递推式，考虑各种情况的变化。不写了。