[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 微分、积分中值定理的应用)

设 f

在 [0,1]

上连续, 在 (0,1)

内二阶可导, 且

limx→0f(x)x2 存在,∫10f(x)dx=f(1).

证明: 存在 ξ∈(0,1)

, 使得 f′′(ξ)+2ξf′(ξ)=0

证明: 由 limx→0f(x)x2

存在知 f(0)=0

, 而

f′(0)=limx→0f(x)x2?x=0.

又由积分中值定理 (与书上的不同, 要变形, 证明利用微分中值定理),

? η∈(0,1),s.t. f(η)=∫10f(x)dx=f(1).

再据 Rolle 定理,

? ζ∈(η,1),s.t. f′(ζ)=0.

记 F(x)=e2xf′(x)

, 则

F(0)=F(ζ)=0.

由 Rolle 定理,

? ξ∈(0,ζ),s.t. F′(ξ)=0.

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时间： 2024-10-15 17:26:14

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