uva11426（莫比乌斯反演）

传送门：GCD Extreme (II)

题意：给定n（n<=4000000），求G

G=0

for(int i=1;i<n;i++)

for(int j=i+1;j<=n;j++)

G+=gcd(i,j).  

分析：这题本来应该欧拉函数预处理来解决，不过尝试一下莫比乌斯反演，没想到也AC了，复杂度O(nlog(n)),应该是题目100case中大数据不多，不然会超时吧。

设F(n)表示gcd(x,y)==n的倍数所有gcd之和，f(n)表示gcd(x,y)==n的所有gcd之和，那么反演有：

f(1)=mu(1)*F(1)+mu(2)*F(2)+...+mu(n)*F(n).

f(2)=mu(1)*F(2)+mu(2)*F(4)+...+mu(n/2)*F(n).

......

F(d)=(n/i)*(n/i-1)/2*d(其中i%d==0).

用筛素数的方法就可求出所有的f(i)了。

#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <limits.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define LL long long
#define mod 100000000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6
#define N 4000000
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=getchar();int x=0,f=1;
    while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
bool vis[N+5];
int mu[N+5],prime[N+5],sum[N+5],cnt[N+5];
void Mobius()
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    mu[1]=1;
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N)break;
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    Mobius();
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
       LL ans=0;
       for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
        ans+=(LL)mu[j/i]*(n/j)*(n/j-1)/2*i;
       printf("%lld\n",ans);
    }
}