4种字符串匹配算法:BS朴素 Rabin-karp 有限自动机 KMP(上)

　　字符串的匹配的算法一直都是比较基础的算法，我们本科数据结构就学过了严蔚敏的KMP算法。KMP算法应该是最高效的一种算法，但是确实稍微有点难理解。所以打算，开这个博客，一步步的介绍4种匹配的算法。也是《算法导论》上提到的。我会把提到的四种算法全部用c/c++语言实现。提供参考学习。下图的表格，介绍了各个算法的处理时间和匹配时间。希望我写的比较清楚。如果不理解的，或者不对的，欢迎留言。

====BF算法（朴素的模式匹配）======================================================

　　介绍，上面这四个算法之前，和所有的教材一下，先介绍一下BF算法吧（暴力算法）。

　　它的思路很简单：把每个字符串都拿来做对比。时间复杂度是O(m*n)。我们不妨先看看代码：

 1 char* strStr(const char* str,const char* target)
 2 {
 3     if(!*target) return str;
 4     char *p1 = (char *)str;
 5
 6      while(*p2)
 7     {
 8         char *p1begin = p1;
 9         char *p2 = (char *)target;
10         while(*p1 && *p2 && (*p1 == *p2))
11         {
12             p1++;
13             p2++;
14         }
15         if(!*p2) return p1begin;
16     }
17     return NULL;
18 }

图解：

　　上图是我通过上面的代码画的一张偏于理解的图：第10行~14行是重点代码，为别进行++的操作，做对比，并且指针一直往后指。直到T串操作完成。最后判断是否T串是否已经走到末尾，如果已经走到末尾，代表了S串中包含了T串的内容，则返回保存的指针。

　　该算法的时间复杂度：两个while循环,所以O(m*n)。

　　BF算法是属于朴素算法的，算法导论中对朴素算法的伪代码是这样的：

1 n=T.length
2 m=P.lenth
3 for s = 0 to n-m
4     if P[1...m] == T [s+1...s+m]
5     print "pattern occurs with shift"s

　　什么 意思？

　　其实他只要对比n-m+1次即可。我们以上图的图作为例子。n-m=12，for循环从0~12只需要对比13次，即（n-m+1），如果第十三次都不成功，说明S串中没有T,直接返回NULL,他的时间复杂度是O(n-m+1),但是如果存在，并且在最后一位，那么他的时间复杂度就是O((n-m+1)*m)，找到以后，还要进行m次对比，也就是两个while循环。

　　因此，我得出结论，BF算法应该是朴素算法里的一种。我们把这类的算法都成为朴素的模式匹配算法。

　　当然，如果模式T，所有的字符都不同，则有没有方法能够将朴素算法降到O(n)，答案是肯定有的。（另外说一句，他们的时间复杂度都很好计算，如果不会的话，就去看看简单的参考书）。

 1 int strStr1(const char* str, const char* target)
 2 {
 3     for(i = 0,j = 0; i != n; i++)
 4     {
 5         if(str[i] == target[j])
 6         {
 7             j++;
 8         }
 9         else
10         {
11             j = 0;
12         }
13         if(j == m)
14             return true;
15     }
16 }

　　这道题是算法导论第三版的32章32.1.2的题目，但是我觉得这题目要考虑一点，如果我要返回的是S串中在什么位置，也就是想要返回一个S串中的指针，上面的方法显然是不行的。因为他只是返回：存不存在这个串。　  那如何改进呢？

char* strStr1(const char* str, const char* target)
{
    int i, j;
    int n = strlen(str);
    int m = strlen(target);
    char *p1 = (char*)str;
    for (i = 0, j = 0; i != n; i++)
    {
        if (str[i] == target[j])
        {
            j++;
        }
        else
        {
            j = 0;
        }
        if (j == m)
            return (p1+i-j+1);//返回该位置的地址
    }
}

Git:代码下载:brute_force.c

====Rabin-Karp=================================================

关于Rabin-Karp算法，会比较复杂。因为涉及到了一些数学上的知识，用到了一些进制的转换。也扯到了模等。我觉得要理解他，如果全凭看算导上面的东西，肯定会把自己弄晕的。我们先来看一篇博文(点击跳转),之后，我们找道题目练练手（poj 1200）。答案在后面给出：

Rabin-Karp 字符串搜索算法 是一个相对快速的字符串搜索算法，它所需要的平均搜索时间是O(n).这个算法是建立在使用散列来比较字符串的基础上的。

Rabin-Karp算法在字符串匹配中其实也不算是很常用，但它的实用性还是不错的，除非你的运气特别差，最坏情况下可能会需要O((n-m)*m)的运行时间(关于n,m的意义请看上篇）。平均情况下，还是比较好的。

朴素的字符串匹配算法为什么慢？因为它太健忘了，前一次匹配的信息其实可以有部分可以应用到后一次匹配中的，而朴素的字符串匹配算法只是简单的把这个信息扔掉，从头再来，因此，浪费了时间。好好的利用这些信息，自然可以提高运行速度。

这个算法不是那么容易说清楚，我举一个例子说下（看算法导论看到的例子）。

我们用E来表示字母表的字母个数，这个例子字母表如下:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，那么E就是10，如果采用小写英文字母来做字母表，那么E就是26，类此。

由于完成两个字符串的比较需要对其中包含的字符进行检验，所需的时间较长，而数值比较则一次就可以完成，那么我们首先把模式（匹配的字串）转化成数值（转化成数值的好处不仅仅在此）。在这个例子里我们可以把字符0~9映射到数字0~9。比如，”423″，我们可以转化成3+E*(2+E*4))，这样一个数值，如果这个值太大了，我们可以选一个较大的质数对其取模，模后的值作为串的值。

这边处理好了，那么接下来转换被匹配的字符串，取前m个字符，如上述操作对其取值，然后对该值进行比较即可。

若不匹配，则继续向下寻找，这时候该如何做呢？比如模式是”423″，而父串是”324232″；第一步比较423跟324的值，不相等，下一步应该比较423跟242了，那么我们这步如何利用前一步的信息呢？首先我们把324前去300，然后在乘以E(这里是10)，在加上2不就成了242了么？用个式子表示就是新的值a(i+1)=(E(a(i)-S[i])*h-S[S+M])) MOD p，p是我们选取的大质数，S[i]表示父串的第i个字符，而a(i)表示当前值，本例中就是324，h表示当前值最高位的权值，比如，324，则h=100，就是3这个位的权值，形式化的表示就是h=（E^m-1）MOD p。当然拉，由于采用了取模操作，当两者相等时，未必是真正的相等，我们需要进行细致的检查（进行一次朴素的字符串匹配操作）。若不相等，则直接可以排除掉。继续下一步。

答案：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
char str[1000000];
bool hash[16000000] = {false};
int ansi[256] = {0};

int main(){
    int N, NC, ans = 0;
    scanf("%d%d%s",&N, &NC, str);
    for(char *s = str; *s; ++s){    //*s 不是 s
        ansi[*s] = 1;        //如果字母出现过，赋值为1
    }
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < 256; ++i){
        if(ansi[i])
            ansi[i] = cnt++;    //从0开始编号
    }
    int len = strlen(str);
    for(int i = 0; i < len - N + 1; ++i){
        int key = 0;
        for(int j = 0; j < N; ++j){
            key = key * NC + ansi[str[i + j]];    //转换成NC进制
            //printf("%d\n",ansi[str[i + j]]);
        }
        //printf("key=%d\n",key);
        if( !hash[key] ){
            ans++;
            hash[key] = true;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

答案 点击打开

　　如果你认认真真的做了，那肯定对该算法有了一些简单的理解。然后我们再去分析《算导》上的伪代码，以及一些知识点。我们先来看算导上的图。

　　31415的模是7,14152的模是8,67399的模也是7，但是，这两个数并不是相同的数，因此，他是一个伪命中点。模的计算机步骤在图C中已经写的很清楚了，不必多费口舌。但是当我们遇到两个相同的mod的时候，有必要去对比，判断他是否是和子串相同的。如果相同，则命中，判断他的串（值）是否相同。相同，则真命中，否则为伪命中。

　　他预处理时间为o(m),原因是他要将各个数的转化为模（下有伪代码中可看出）需要有一段时间，转化的时间是o(m)。之后，只要对比n-m+1次即可。如果两个数相同，则进行m次匹配。因此他最坏的时间复杂度是o(m*(n-m+1))。

　　我们来看看伪代码：　

n = len(T);
m = len(p);
h = d^(m-1)mod q; //表示进位
p = 0;
t0 = 0;
for i   1 to m  //m次预处理时间
   p = (d*p+P[I]) mod q;
   t0 = (d*t0+T[I])mod q;
for i 0 to n-m   //从串S里面开始逐个搜索
     if p==ti
     else ts+1 = d(ts-T[S+1]h) + T[S+M+1]mod q //比较重要的一步。获取下一个mod

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