历届试题 矩阵翻硬币
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问题描述
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出格式
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
题目解析：
1、从题目得知，如果一个硬币被翻转了奇数次后为正面朝上，那么它原始的状态一定是反面朝上。因此，我们需要统计所有翻转了奇数次硬币的个数。
2、题目中的 “ 对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转 ”。我们可以试着逆向思索，对于一个横坐标为X的硬币而言，我们翻转那些硬币会影响到它而使它翻转呢？由此我们可以得出，当翻转的硬币的横坐标为X的约数时，会影响到它的翻转。比如，X=9，那么翻转横坐标为 1、3、9的时候会影响到它的翻转。纵坐标情况同理。
对于一个硬币，我们必须考虑到它的横坐标和纵坐标。假如，此硬币的横坐标翻转了5次，纵坐标翻转了6次，那么它总的翻转次数为 5 * 6 = 30 次。因此我们得到一个公式：总翻转次数 (count) = 横坐标翻转次数 (count_x) * 纵坐标翻转次数 (count_y)。我们一开始就指出，我们需要找到翻转了奇数次的硬币，因此，横坐标翻转次数和纵坐标翻转次数均为奇数时，总翻转次数才为奇数次。
3、接下来我们需要考虑，哪些数有奇数个约数呢？答案是完全平方数。它为 1,4,9,16,25,36...... 即n的2次方，n为从1开始的正整数。
从题目中得知，此时是一个 n * m 的矩阵，行号和列号都是从1开始。因此我们需要解决 1 到 n 之间完全平方数个数的问题。方法是求出sqrt(n)，然后对它取整，即 1 - n 之间总共由于 (int)(sqrt(n)) 个完全平方数。因此，反面朝上硬币的个数为横纵坐标完全平方数个数相乘，即 (int)((sqrt(n)) * (sqrt(m))) 。
4、由于此题的数据是超大规模的。因此，我们需要解决大数开方、大数相乘和大数比较等问题。
通常使用 String 来接受键盘输入大数，因为它的长度比较容易控制。而使用 java.math.BigInteger 包中的 BigInteger 类来存储大数据。它的原则是，只要计算机有足够的的内存，它就能存储多长位数的数。
大数开方： 牛顿逼近法。
如果一个数的位数为偶数，那么这个数的方根就有 n/2 位，如果一个数的位数为奇数，这个数的方根就有 n/2 + 1 位。
比如 num=1000 ，那么它的位数为 4 ，即方根就有 2 位。我们从方根的最高位进行枚举。
先枚举出它的十位：
10 * 10 = 100 < 1000
20 * 20 = 400 < 1000
30 * 30 = 900 < 1000
40 * 40 = 1600 > 1000
则这个根的十位为 3 。
再枚举它的个位：
31 * 31 = 961 < 1000
32 * 32 = 1024 > 1000
则这个根的个位为 1 。即这个根为 31 。
大数相乘： 调用 java.math.* 包中的 multiply 方法。比如 bigNum1.multiply(bigNum2)
大数比较： 调用 java.math.* 包中的 compareTo 方法，随第一个参数小于，等于或大于第二个参数返回负整数、零或正整数。比如 "2".compareTo ("3")
示例代码：
1 import java.io.BufferedReader;
2 import java.io.IOException;
3 import java.io.InputStreamReader;
4 import java.math.BigInteger;
5 import java.util.Arrays;
6
7 public class Main {
8 public static void main(String[] args) throws IOException {
9 BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
10 String[] str = br.readLine().split(" ");
11 String n = str[0];
12 String m = str[1];
13 BigInteger answer = (bigSqrt(n)).multiply(bigSqrt(m)); //sqrt(n) * sqrt(m) 1-n之间的完全平方数的个数 * 1-m之间完全平方数的个数
14 System.out.println(answer);
15 }
16 // 求1 - num 之间完全平方数的个数
17 private static BigInteger bigSqrt(String num) {
18 int length = num.length(); //被开方数的位数
19 int sqrt_len = 0; //开方数的位数
20 if(length % 2 == 0){
21 sqrt_len = length / 2;
22 }else{
23 sqrt_len = length / 2 + 1;
24 }
25 BigInteger beSqrtNum = new BigInteger(num);
26 char[] ch = new char[sqrt_len]; //记录开方数，开房数在数组中逆序存放
27 Arrays.fill(ch, ‘0‘); //将ch数组初始化为‘0‘
28 for(int i = 0; i < sqrt_len; i++){ //从开房数的最高位开始计算，使 每一位都转化为 开方数的平方且不大于被开方数
29 for(char j = ‘1‘; j <= ‘9‘; j++ ){
30 ch[i] = j;
31 String s = String.valueOf(ch);
32 BigInteger sqrtNum = new BigInteger(s);
33 BigInteger squareNum = sqrtNum.multiply(sqrtNum);
34 if(squareNum.compareTo(beSqrtNum) == 1){ //大数比较问题
35 ch[i] -= 1;
36 break;
37 }
38 }
39 }
40 return new BigInteger(String.valueOf(ch));
41 }
42 }