bzoj1690[Usaco2007 Dec]奶牛的旅行*

bzoj1690[Usaco2007 Dec]奶牛的旅行

题意：

n点m边有向图，点有点权，边有边权，奶牛想要从某点出发，走一些路使得经过的点权和除以（浮点数除法）边权和最大，求这个小数（保留两位）。n≤1000，m=5000。

题解：

01分数规划！太神了，然而我看不懂证明，所以直接给出算法。假设需要所求小数最大，那么二分这个数，然后将所有边的边权改为分母（需要最小化的部分）*二分的数-分子（需要最大化的部分），然后判负环。如果有，说明解合法，否则解不合法。最后把下界输出。如果需要所求小数最小，则把边权改为分子（需要最大化的部分）-分母（需要最小化的部分）*二分的数，同时改变范围缩小的方向。

而判负环用dfs实现的spfa较快，而且每个节点都必须作为起点遍历一遍以防漏判负环。

代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <queue>
 5 #define inc(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
 6 #define maxn 1010
 7 #define INF 0x3fffffff
 8 using namespace std;
 9
10 inline int read(){
11     char ch=getchar(); int f=1,x=0;
12     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1; ch=getchar();}
13     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
14     return f*x;
15 }
16 struct e{int t; double w; int n;}es[maxn*5]; int g[maxn],ess;
17 void pe(int f,int t){es[++ess]=(e){t,0,g[f]}; g[f]=ess;}
18 double v[maxn],w[maxn*5]; int n,m;
19 void rebuild(double x){inc(i,1,m)es[i].w=w[i]*x-v[es[i].t];}
20 bool ins[maxn],f; double d[maxn];
21 void dfs(int x){
22     ins[x]=1;
23     for(int i=g[x];i;i=es[i].n){
24         if(f)return;
25         if(d[es[i].t]>d[x]+es[i].w){
26             if(ins[es[i].t]){f=1; return;} d[es[i].t]=d[x]+es[i].w; dfs(es[i].t);
27         }
28     }
29     ins[x]=0;
30 }
31 bool spfa(){
32     memset(ins,0,sizeof(ins)); memset(d,0,sizeof(d)); f=0;
33     inc(i,1,n){dfs(i); if(f)return 0;} return 1;
34 }
35 int main(){
36     n=read(); m=read(); inc(i,1,n)v[i]=read(); inc(i,1,m){int x=read(),y=read(); w[i]=read(); pe(x,y);}
37     double l=1,r=10000;
38     while(r-l>0.001){
39         double mid=(l+r)/2; rebuild(mid); if(!spfa())l=mid;else r=mid;
40     }
41     printf("%.2lf",l); return 0;
42 }

20160921