动态规划之矩阵链

dp有很多个经典应用，矩阵链是其中一个。

对于我这种数学不好的人，需要回顾矩阵性质。

若矩阵A的维数是p×q，矩阵B的维数是q×r，则A与B相乘后所得矩阵AB的维数是p×r。按照矩阵相乘的定义，求出矩阵AB中的一个元素需要做q次乘法（及q-1次加法）。这样，要计算出AB就需要做p×q×r次乘法。由于加法比同样数量的乘法所用时间要少得多，故不考虑加法的计算量。

看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50

按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次

待续~

时间： 2024-12-19 05:07:29

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矩阵链乘法问题给定一个n个矩阵的序列?A1,A2,A3...An?,我们要计算他们的乘积:A1A2A3...An.因为矩阵乘法满足结合律,加括号不会影响结果.可是不同的加括号方法.算法复杂度有非常大的区别: 考虑矩阵链:?A1,A2,A3?.三个矩阵规模分别为10×100.100×5.5×50 假设按((A1A2)A3)方式,须要做10?100?5=5000次,再与A3相乘,又须要10?5?50=2500,共须要7500次运算: 假设按(A1(A2A3))方式计算.共须要100?5?50+10

[CLRS][CH 15.2] 动态规划之矩阵链乘法

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【算法导论】动态规划之“矩阵链乘法”问题

上一篇里,介绍了动态规划的"钢管切割"问题,这一次来看看"矩阵链乘法".所谓矩阵链乘法就是一个或一个以上的矩阵连续相乘,这里主要关注的是乘法的次数. 一.概述以两个矩阵相乘为例,A1*A2,A1和A2为两个矩阵,假设A1的行列数是p*q,A2的行列数是q*r.注意这里由于是A1乘以A2,所以A1的列数要等于A2的行数,否则无法做矩阵乘法,满足上述条件的矩阵,我们称之为"相容"的.那么对于A1*A2而言,我们需要分别执行p*r次对应A1的行元素乘

动态规划之矩阵链乘

问题提出: 对于如下矩阵: 其中各矩阵A[i]下标为计算其乘积的结果,以及我们需要计算其最小标量乘法次数. 问题分析: 首先我们需要明确的是何为标量:标量即为没有方向的量,而有方向的量即为矢量.(严谨的定义自己百度去) 那么标量乘法就变成了最基本的数字相乘. 其次对于两个矩阵相乘,需满足下示公式所示的形式:(左边矩阵的列数与右边矩阵的行数必须一致) 上述条件可从矩阵相乘的定义中看出: 在计算机,我们可以用一个二维数组来表示矩阵. 一个m行n列的矩阵与一个n行p列的矩阵相乘,会得到一个m行p列的

动态规划之矩阵链乘法

矩阵链相乘矩阵链乘法求解矩阵链相乘问题时动态规划算法的另一个例子.给定一个n个矩阵的序列(矩阵链)<A1,A2,...,An>,我们希望计算它们的乘积 A1A2...An ?两个矩阵A和B只有相容(compatible),即A的列数等于B的行数时,才能相乘.如果A是p×q的矩阵,B是q×r的矩阵,那么乘积C是p×r的矩阵.计算C所需要时间由第8行的标量乘法的次数决定的,即pqr. ? ?以矩阵链<A1,A2,A3>为例,来说明不同的加括号方式会导致不同的计算代价.假设三个矩阵的

算法导论------------------动态规划之矩阵链问题

[问题描述] 给定有n个连乘矩阵的维数,要求计算其采用最优计算次序时所用的乘法次数,即所要求计算的乘法次数最少.例如,给定三个连乘矩阵{A1,A2,A3}的维数分别是10*100,100*5和5*50,采用(A1A2)A3,乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次,而采用A1(A2A3),乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法,显然,最好的次序是(A1A2)A3,乘法次数为7500次. 分析: 矩阵链乘法问题描述: 给定由n个矩阵构成的序列[A1,A2,.

动态规划矩阵链

算法导论上的题目,用动态规划算法解矩阵链乘法问题需要时间为O(n^3),空间为O(n^2). 问题描述: 给定n个矩阵构成的一个链(A1*A2*A3--*An),其中i=1,2,--n,矩阵Ai的维数为p(i-1)*p(i),对于乘积A1*A2*A3--*An以一种最小化标量乘法次数的方式进行加括号. /************************************************************************* > File Name: maxtrix_ch

算法导论之动态规划 - 矩阵链相乘

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《算法导论》读书笔记之动态规划—矩阵链乘法

前言:今天接着学习动态规划算法,学习如何用动态规划来分析解决矩阵链乘问题.首先回顾一下矩阵乘法运算法,并给出C++语言实现过程.然后采用动态规划算法分析矩阵链乘问题并给出C语言实现过程. 1.矩阵乘法从定义可以看出:只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义.一个m×r的矩阵A左乘一个r×n的矩阵B,会得到一个m×n的矩阵C.在计算机中,一个矩阵说穿了就是一个二维数组.一个m行r列的矩阵可以乘以一个r行n列的矩阵,得到的结果是一个m行n列的矩阵,其中的第i行第j列位置上的数等于前一个