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　　　　　　　　　　中国剩余定理【数论】

2014年08月02日 12:55:59

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中国剩余定理的具体描述是这样的：

给出你n个ai和mi，最后让求出x的最小值是多少。

中国剩余定理说明：假设整数m₁, m₂, ... , m_n两两互质，则对任意的整数：a₁, a₂, ... , a_n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

1. 设是整数m₁, m₂, ... , m_n的乘积，并设是除了m_i以外的n - 1个整数的乘积。
2. 设为模的数论倒数：
3. 方程组的通解形式为： 在模的意义下，方程组只有一个解：

分割线

下面我们来看一个具体的例子：

使用中国剩余定理来求解上面的“物不知数”问题，便可以理解《孙子歌诀》中的数字含义。这里的线性同余方程组是：

三个模数m₁3, m₂5, m₃7的乘积是M105，对应的M₁35, M₂21, M₃15. 而可以计算出相应的数论倒数：t₁2, t₂1, t₃1. 所以《孙子歌诀》中的70，21和15其实是这个“物不知数”问题的基础解：

而将原方程组中的余数相应地乘到这三个基础解上，再加起来，其和就是原方程组的解：

这个和是233，实际上原方程组的通解公式为：

《孙子算经》中实际上给出了最小正整数解，也就是k-2时的解：x23.

附：数论倒数 wiki

具体代码参考如下：（应该很明了）

1. ///n个mi互质

2.  

   const LL maxn = 20;

3.  

   LL a[maxn], m[maxn], n;

4.  

   LL CRT(LL a[], LL m[], LL n)

5.  

   {

6.  

   LL M = 1;

7.  

   for (int i = 0; i < n; i++) M *= m[i];

8.  

   LL ret = 0;

9.  

   for (int i = 0; i < n; i++)

10.  

    {

11.  

    LL x, y;

12.  

    LL tm = M / m[i];

13.  

    ex_gcd(tm, m[i], x, y);

14.  

    ret = (ret + tm * x * a[i]) % M;

15.  

    }

16.  

    return (ret + M) % M;

17.  

    }

分割线

下面也就是关于这个的扩展，前面我们已经说了，中国剩余数定理是适用于n个mi两两互质的情况的，如果不互质呢，下面就是一个转换：

模不两两互质的同余式组可化为模两两互质的同余式组，再用孙子定理直接求解。

84=2²×3×7,160=2⁵×5,63=3²×7，由推广的孙子定理可得  与  同解。

附图：详细讲解，转自传送门

1. ///n个mi不互质

2.  

   const LL maxn = 1000;

3.  

   LL a[maxn], m[maxn], n;

4.  

   LL CRT(LL a[], LL m[], LL n) {

5.  

   if (n == 1) {

6.  

   if (m[0] > a[0]) return a[0];

7.  

   else return -1;

8.  

   }

9.  

   LL x, y, d;

10.  

    for (int i = 1; i < n; i++) {

11.  

    if (m[i] <= a[i]) return -1;

12.  

    d = ex_gcd(m[0], m[i], x, y);

13.  

    if ((a[i] - a[0]) % d != 0) return -1; //不能整除则无解

14.  

    LL t = m[i] / d;

15.  

    x = ((a[i] - a[0]) / d * x % t + t) % t; //第0个与第i个模线性方程的特解

16.  

    a[0] = x * m[0] + a[0];

17.  

    m[0] = m[0] * m[i] / d;

18.  

    a[0] = (a[0] % m[0] + m[0]) % m[0];

19.  

    }

20.  

    return a[0];

21.  

    }

以上大部分内容来自wiki

下面做几道练手的题目：

poj2891，n个mi不互质的裸题

代码

poj1006，三个互质的裸题

代码

原文地址：https://www.cnblogs.com/zhumengdexiaobai/p/9495496.html