题记：

最近刚研究了动态规划，感觉确实是算法思想中比较晦涩深奥的一种，解法2就是用动态规划，一般都是用数组记录尝试过的解法结果，为后续的解法提供剪枝。对于这道题目，解法1,解法3的思路比较简单易懂。

解法1：用两个for循环找出所有子串，第三个for循环用于判断该子串是否为回文，是回文则且比已找到的回文串长就替换，算法时间效率为O(n^3)

解法3：用for循环遍历字符串的每一个字符，每找到一个字符就以此为中心，往两边拓展，看左右字符串是否相等。但是回文有两种类型，一种为奇数，一种偶数，如下：

奇数回文：aba

偶数回文：abba

所以要分成2种情况。算法时间效率为O(n^2)

原文：

之前注册过hihoCoder，现在看到推出编程字符串专题，有这个题目，自己写一下。

回文是指正着读和倒着读，结果一些样，比如abcba或abba。

题目是要在一个字符串中要到最长的回文子串。

1、暴力法

最容易想到的就是暴力破解，求出每一个子串，之后判断是不是回文，找到最长的那个。

求每一个子串时间复杂度O(N^2)，判断子串是不是回文O(N)，两者是相乘关系，所以时间复杂度为O(N^3)。

string findLongestPalindrome(string &s)
{
    int length=s.size();//字符串长度
    int maxlength=0;//最长回文字符串长度
    int start;//最长回文字符串起始地址
    for(int i=0;i<length;i++)//起始地址
        for(int j=i+1;j<length;j++)//结束地址
        {
            int tmp1,tmp2;
            for(tmp1=i,tmp2=j;tmp1<tmp2;tmp1++,tmp2--)//判断是不是回文
            {
                if(s.at(tmp1)!=s.at(tmp2))
                    break;
            }
            if(tmp1>=tmp2&&j-i>maxlength)
            {
                maxlength=j-i+1;
                start=i;
            }
        }
        if(maxlength>0)
            return s.substr(start,maxlength);//求子串
        return NULL;

}

2、动态规划

回文字符串的子串也是回文，比如P[i,j]（表示以i开始以j结束的子串）是回文字符串，那么P[i+1,j-1]也是回文字符串。这样最长回文子串就能分解成一系列子问题了。这样需要额外的空间O（N^2)，算法复杂度也是O(N^2)。

首先定义状态方程和转移方程：

P[i,j]=0表示子串[i,j]不是回文串。P[i,j]=1表示子串[i,j]是回文串。

P[i,i]=1

P[i,j]｛=P[i+1,j-1],if(s[i]==s[j])

=0 ,if(s[i]!=s[j])

string findLongestPalindrome(string &s)
{
    const int length=s.size();
    int maxlength=0;
    int start;
    bool P[50][50]={false};
    for(int i=0;i<length;i++)//初始化准备
    {
        P[i][i]=true;
        if(i<length-1&&s.at(i)==s.at(i+1))
        {
            P[i][i+1]=true;
            start=i;
            maxlength=2;
        }
    }
    for(int len=3;len<length;len++)//子串长度
        for(int i=0;i<=length-len;i++)//子串起始地址
        {
            int j=i+len-1;//子串结束地址
            if(P[i+1][j-1]&&s.at(i)==s.at(j))
            {
                P[i][j]=true;
                maxlength=len;
                start=i;
            }
        }
    if(maxlength>=2)
        return s.substr(start,maxlength);
    return NULL;
}

3、中心扩展

中心扩展就是把给定的字符串的每一个字母当做中心，向两边扩展，这样来找最长的子回文串。算法复杂度为O(N^2)。

但是要考虑两种情况：

1、像aba，这样长度为奇数。

2、想abba，这样长度为偶数。

string findLongestPalindrome(string &s)
{
    const int length=s.size();
    int maxlength=0;
    int start;

    for(int i=0;i<length;i++)//长度为奇数
    {
        int j=i-1,k=i+1;
        while(j>=0&&k<length&&s.at(j)==s.at(k))
        {
            if(k-j+1>maxlength)
            {
                maxlength=k-j+1;
                start=j;
            }
            j--;
            k++;
        }
    }

    for(int i=0;i<length;i++)//长度为偶数
    {
        int j=i,k=i+1;
        while(j>=0&&k<length&&s.at(j)==s.at(k))
        {
            if(k-j+1>maxlength)
            {
                maxlength=k-j+1;
                start=j;
            }
            j--;
            k++;
        }
    }
    if(maxlength>0)
        return s.substr(start,maxlength);
    return NULL;
}

4、Manacher法

Manacher法只能解决例如aba这样长度为奇数的回文串，对于abba这样的不能解决，于是就在里面添加特殊字符。我是添加了“#”，使abba变为a#b#b#a。这个算法就是利用已有回文串的对称性来计算的，具体算法复杂度为O(N)，我没看出来，因为有两个嵌套的for循环。

具体原理参考这里。

测试代码中我没过滤掉“#”。

#define min(x, y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x, y) ((x)<(y)?(y):(x))
string findLongestPalindrome3(string s)
{
    int length=s.size();
    for(int i=0,k=1;i<length-1;i++)//给字符串添加 #
    {
        s.insert(k,"#");
        k=k+2;
    }
    length=length*2-1;//添加#后字符串长度
    int *rad=new int[length]();
    rad[0]=0;
    for(int i=1,j=1,k;i<length;i=i+k)
    {
        while(i-j>=0&&i+j<length&&s.at(i-j)==s.at(i+j))
            j++;
        rad[i]=j-1;
        for(k=1;k<=rad[i]&&rad[i-k]!=rad[i]-k;k++)//镜像,遇到rad[i-k]=rad[i]-k停止，这时不用从j=1开始比较
            rad[i+k]=min(rad[i-k],rad[i]-k);

        j=max(j-k,0);//更新j

    }
    int max=0;
    int center;
    for(int i=0;i<length;i++)
    {
        if(rad[i]>max)
        {
            max=rad[i];
            center=i;
        }
    }
    return s.substr(center-max,2*max+1);

}