careercup-递归和动态规划 9.4

9.4 编写一个方法，返回某集合的所有子集。

类似leetcode：Subsets

解法：

解决这个问题之前，我们先要对时间和空间复杂度有个合理的评估。一个集合会有多少子集？我们可以这么计算，生成了一个子集时，每个元素都可以“选择”在或者不在这个子集中。也就是说，第一个元素有两个选择：它要么在集合中，要么不在集合中。同样，第二个元素也有两个选择，以此类推，2相乘n次等于2^n个子集。因此，在时间和空间复杂度上，我们不可能做得比O(2^n)更好。

解法一：递归

首先将空集合加入，则当前集合为{{}}

然后将第一个元素加入当前集合的每一个子集中，并将的到的新的子集也加入到当前集合中，则有{{}{1}}

加入第二个元素时，则有{{}{1}{2}{1,2}}

加入第三个元素时，则有{{}{1}{2}{1,2}{3}{1,3}{2,3}{1,2,3}}

根据上面的思路，代码实现如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

vector<vector<int> > subset(vector<int> &S)
{
    vector<vector<int> > ret;
    if(S.empty())
        return ret;
    int n=S.size();
    int i,j;
    ret.push_back(vector<int>());
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        int m=ret.size();
        for(j=0;j<m;j++)
        {
            vector<int> tmp=ret[j];
            tmp.push_back(S[i]);
            ret.push_back(tmp);
        }
    }
    return ret;
}

int main()
{
    vector<int> res={1,2,3};
    vector<vector<int> > ret=subset(res);
    for(auto a:ret)
    {
        for(auto t:a)
            cout<<t<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<"subset sum : "<<ret.size()<<endl;
}

解法二 ：组合数学

回想一下，在构造一个集合时，每个元素有两种选择（1）该元素在这个集合中（“yes”状态），或者（2）该元素不在这个集合中（“no”状态）。这就意味着每个子集都是一串yes和no，比如“yes，yes，no，no，yes，no”。

由此，总共可能会有2^n子集。怎样才能迭代变量所有元素的所有“yes”“no”序列？如果将每个“yes“视作1，每个”no“视作0，那么，每个子集就可以表示为一个二进制串。

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

vector<vector<int> > subset(vector<int> &S)
{
    vector<vector<int> > ret;
    if(S.empty())
        return ret;
    int n=S.size();
    int i,j;
    ret.push_back(vector<int>());
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        int m=ret.size();
        for(j=0;j<m;j++)
        {
            vector<int> tmp=ret[j];
            tmp.push_back(S[i]);
            ret.push_back(tmp);
        }
    }
    return ret;
}

vector<vector<int> > subset1(vector<int> &S)
{
    vector<vector<int> > res;
    int n=1<<S.size();
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        vector<int> tmp;
        int index=0;
        //对每一个二进制数检查哪些位为0或1，为1的加入到tmp中，为0的不加入
        for(j=i;j>0;j>>=1)
        {
            if(j&1)
            {
                tmp.push_back(S[index]);
            }
            index++;
        }
        res.push_back(tmp);
    }
    return res;
}

int main()
{
    vector<int> res={1,2,3};
    vector<vector<int> > ret=subset1(res);
    for(auto a:ret)
    {
        for(auto t:a)
            cout<<t<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<"subset sum : "<<ret.size()<<endl;
}