欧拉函数小结

欧拉函数：

φ(n)表示1~n中和n互素的数目

要处理出欧拉函数。先证明φ(p)=p-1.(p为素数)

根据互素的概念。两个数的公约数只有1，那么这两个数互素。再根据素数的定义。公约数除了本身以外只有1的数为素数。所以得证φ(p) = p-1.

再证明欧拉函数为不完全积性函数。

φ(m1*m2) = φ(m1)*φ(m2) 其中 m1和m2互素。即gcd(m1,m2)=1.

证明过程在我另外一篇博文中。我觉得那种证明比较好。当然还有别的比较好的证明方法。

http://www.cnblogs.com/Milkor/p/4464515.html

思考一个这样的经典问题。知道一个函数是积性的（其实只要是在两个互素数中的积性）。

那么根据算术基本定理（任何一个数可以拆分成素数的乘积形式）

φ(m) = φ(p1^k1) * φ(p2^k2) * φ(p3^k3) *...

那么我们只要求出φ(p^k)就可以求出任意数的对应的欧拉函数的对应值。

1~p^k 一共有p^k个数。

其中是p的倍数为 <p,2p,3p...p^k> （最后那个数可以列不等式找出来）。个数为p^k/p = p^(k-1).

所以和p^k互素的数的个数为 p^k - p^(k-1).

那么根据上述。可得

以上便是欧拉公式的来源。

顺便根据我们上述的推论，我们再推导一下线性筛法欧拉函数中。

当i%j==0的时候。也就是j为i的因子的时候。

φ(i*j)=φ(i)*j.这个结论吧。

证明过程：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #define N 100
 4 int prime[N+5];
 5 int num;
 6 bool mark[N+5];
 7 int euler[N+5];
 8 void Euler()
 9 {
10     int i,j;
11     num = 0;
12     memset(mark,0,sizeof(mark));
13     euler[1] = 0;
14     for(i=2;i<=N;i++)
15     {
16         if(!mark[i])
17         {
18             prime[num++] = i;
19             euler[i]=i-1;
20         }
21         for(j=0;j<num;j++)
22         {
23             if(i*prime[j]>N){break;}
24             mark[i*prime[j]] = 1;
25             if(i%prime[j]==0)
26             {
27                 euler[i*prime[j]] = euler[i]*prime[j];
28             }
29             else
30             {
31                 euler[i*prime[j]] = euler[i]*euler[prime[j]];
32             }
33
34         }
35     }
36 }
37 int main()
38 {
39     Euler();
40     int i;
41     for(i=0;i<num;i++)
42     {
43         printf("%d ",prime[i]);
44     }
45     printf("\n");
46     for(i=1;i<=N;i++)
47     {
48         printf("%d=%d ",i,euler[i]);
49     }
50 }

欧拉线性筛