RMQ问题第一弹

今天，我给大家分享一下我在学习 RMQ 问题过程中对该问题的理解。

RMQ （Range Minimum／Maximum Query ）：中文名为“区间最值查询”。RMQ 问题指的是给定一段区间，针对给定区间进行若干次查询，每次给出不同的待查询子区间范围，要求返回子区间内的最大值或者最小值。

一般此类问题会给出区间内总元素个数 n 、待查询的次数 q ，以及每次查询的始末位置。

根据常规的思路，要找出一段区间中的最大值或最小值，我们会采取遍历区间的做法，该方法的核心代码在此不作展示。分析可知，n 个数据的规模，进行 q 次查询，时间复杂度为 o（q＊n ），当问题的规模逐渐增大或者查询的次数逐渐增多的时候，我们无法在有限的时间内完成任务。因此，寻找更方便更快捷的办法成为我们的目标。在学习算法的道路上，我们都知道，第一直觉想出来的解决思路往往是最直接也是最低效的，于是理所当然的，我们需要对原来的思路进行改进，甚至摒弃原来低效的方法另辟蹊径。常规的思路时间主要耗费在对最值的查询和求解工作上，我们可以想办法将查询时间缩短，有人提出将可能查询的区间列出来，针对每个区间找出其中的最值存储在数组里，每次查询最值数组即可,这个思路需要存储的量有三个，起始点、终止点、区间最值，可以考虑模仿动态规划的理念，对二维数组的两个下标和存储的值赋予特殊含义，即用二维数组的第一坐标表示起始点、第二坐标表示终止点，那么值就可以表示区间最值。这样一来，查询的时间缩短为 o（1），但是问题在于，该 n＊ n 的二维数组赋值的时候，如果采用遍历对应区间的方法求最值，整个二维数组赋值过程时间复杂度为 o（n^3），这就意味着，虽然做了多余的工作，也做了合理的设想，但是并未达到优化问题的目的。这是不是意味着当前的思路不可行呢？我们需要先考虑该二维数组赋值过程能不能优化，如果不能，那这个思路就可以宣布失败了。

天无绝人之路，机会总是偏爱大胆实践的人。我们可以在此作出大胆预测，如果采用以上对二维数组的定义：第一坐标表示起始点，第二坐标表示终止点，值表示最值，即使求解最值的方法时间复杂度是 o（1），那求解该二维数组的整个过程时间复杂度也在 o（n^2），我们知道并没有 o（1）求解乱序区间最值的方法，因此，可以得出结论，以上对二维数组的定义无法达到优化的目的。

这就意味着问题不仅出现在求解区间最值的方法上，同时基本的二维数组定义也是不合理的。不合理之处在于规模过大，我们需要想办法缩小二维数组的规模。表示某一区间和其最值除了首末端点和最值三个参数这种方法，还可以用区间起始点、区间长度、区间最值三个参数。区间长度范围是 1 ～ n ，换个思路想一下，表示区间长度时候定义可以是多样的。

由此衍生出第二种方法－－ ST 方法。

ST（Sparse Table）方法，sparse 中文译为：稀疏的，稀少的，零星的；table 中文译为：桌子，表，目录，手术台，工作台，游戏台；Sparse Table 具体中文名到底如何翻译，没有一个固定说法，我们暂且称之为 ST方法，该方法的本质是用动态规划方法求出用于查询的最值数组，以待查询子区间的起始位置和区间长度标记一个状态，以该子区间内的最大值或最小值作为状态值。

以求最大值为例： dp[ i ][ j ] = max ，其中，i 表示待查询子区间起始位置；j 表示待查询子区间的长度为 2 ^ j , max 表示在该子区间中最大值为 max 。分析可知：1 <= i <= n , 0 <= j <= log n （以 2 为底）, 此时，二维数组的规模为 n ＊log n （以 2 为底）。动态规划的表达式有了，现在我们来研究状态转换方程，由 dp 数组的定义可以看出来，dp[ i ][ j ] 表示的区间长度 2 ^ j 一定是偶数，因此，区间可以等分为两个长度为 2 ^( j - 1 ) 的子区间，依照分治的思想，求该区间的最值，可以通过选择两个子区间最值中的最值来实现。此时,状态转换方程为：

dp[ i ] [ j ] = max ( dp[ i ][ j - 1 ] , dp[ i + 2^( j - 1 ) - 1][ j - 1 ] )

求最值数组具体的核心代码实现过程如下：

注意，第 13 行的注释“ j 必须为外层循环控制量”，原因在于求解过程中，先求出以各元素为初始元素区间长度为 1 的最值，再求出以各元素为初始元素区间长度为 2 的最值，依次求解。因此 i 为内层循环控制量， j 为外层循环控制量，而不能以 i 为外层循环控制量，因为此时假设求 dp[ i ] [ j ] ，如果 i 为外层循环控制量，dp[i][j] = max( dp[i][j-1] , dp[i + 2 ^(j-1) - 1][j-1]) ,其中 dp[ i ][ j - 1] 已知，但是 dp[i + 2 ^(j-1) - 1][j-1] 未知的，准确说，第一坐标值大于 i 的值都是未知的。

查询的时候，已知的信息是始末元素下标 start 和 end ，我们的 dp 数组中存储的是长度为 2 的幂的区间最值，对于长度非 2 的幂的区间，我们需要找到能够覆盖这个区间的两个区间，选取两者的最值即可。

如下，求下标 1 ～12 的元素中的最值，log 12 （以 2 为底）＝ 3 ，因此选取 F（1，3）和 F（5，3）两个区间，组合起来可以覆盖待求区间的所有数据。