算法课作业之删数问题

问题描述：

通过键盘输入一个高精度的正整数n(n的有效位数≤240)，去掉其中任意s个数字后，剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的n和s，寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。

问题分析：

这个问题是最优子结构问题，即局部最优能决定全局最优解，可以使用贪心算法进行解决。n个正整数去掉s个数字，求使得到的新的正整数最大的删除方案可以等价为：对于n个正整数组成的数字，一个一个地依次去掉s个数字，要求每删除一个数时，都使删除后的新的正整数最小。因此问题转化为求解删除一个数字时是新的数字最小的方案，求得这个方案后只需要对其执行s次即可。

因为删数后剩下的数字原左右次序不变，所以要尽可能在左边删除，我们从左往右进行考虑，假设n个整数为a(1),a(2)....a(n),当由左往右第一次出现a(k)>a(k+1),可以发现，①删除任何一个a(k)之前的元素得到的新数都比删除a(k)得到的新数大，所以可以明确a(k)之前的元素可以排除；②倘若删除a(k)，则新的数字第k位变成a(k+1)，记这个新的数字为c，倘若删除a(k)之后的任何一位，得到的新的数字第k位仍然是a(k),记这个新的数字为d。比较c和d，可以发现，c(1)=d(1),......,c(k-1)=d(k-1),因为a(k)>a(k+1)，所以c(k)<d(k)，那么有c<d。综上可知，对于数字a，应该删除由左往右第一次出现a(k)>a(k+1)时的a(k),如果a的数字序列一直是非减的，那么删除最后一位即可。

本算法的完整C++代码如下：

#include "stdafx.h"
#include "vector"
#include "cmath"
#include "iostream"

using namespace std;

int digit_to_int(char d)//将char数组中的元素转换为整数以便于进行比较
{
    char str[2];

    str[0] = d;
    str[1] = ‘/0‘;
    return (int)strtol(str, NULL, 10);
}

void DeleteOneBit(char * a,int _size){//每次只删除一位的函数
    int i = 0;
    bool _is = false;//用于判断是否需要将部分右边的元素左移一位
    while (i < _size - 1){
        if (digit_to_int(a[i])>digit_to_int(a[i+1])){
            _is = true;
            break;}
        i++;
    }
    if (_is){
        for (; i < _size - 1;i++)
        {
            a[i] = a[i + 1];
        }
    }
    a[_size - 1] = ‘\0‘;//写终止符
}
void GetNewNum(char* b,int _num_d){
    int _lenght = strlen(b);
    if (_num_d>=_lenght){
        cout << "删除的位数过多" << endl;
        return;}
    for (int i = 0; i < _num_d;i++){
        DeleteOneBit(b, _lenght);
        _lenght--;
    }

}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    cout << "请输入要进行删数的正整数（小于240位）"<<endl;
    char a[241];
    cin >> a;
    int _num_d;
    cout << "请输入要删除的位数（小于输入的整数的位数）" << endl;
    cin >> _num_d;
    GetNewNum(a, _num_d);
    cout << a;
    system("pause");
    return 0;
}