【算法】网络最大流 EK

网络流是干嘛的？举一个例子：

在一个水上城市中，有很多小镇，之间有很多座桥连着，每一座桥因为制作材料不同最大载重不同，如果超过最大载重，桥就垮了，桥上的人就GG了，所以我们不能让这样的情况发生——即：每一条边的流量不能超过容量，我们再规定一个起点，一个终点，我们要从起点运货到终点，只有一次机会但可以同时走多条道路充分利用资源，最后求：最大运货量可以为多少？

这就是网络最大流问题，求某点到某点的最大流量。

EK算法，网络流最朴素的算法，不断寻找增广路，再来回两遍减容量，加ans，容易理解：

 1 #include<cmath>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 const int MAXN=200+10,inf=2000000000;
 8 int c[MAXN][MAXN],f[MAXN][MAXN],q[MAXN][2],n,m,ans;//c数组是记录容量，f数组是记录流量，q为队列，因为既要记录当前点，也要记录路径，所以开2维
 9 bool p[MAXN],mark=true;//p代表每个点是否可取（每个点只能取一次）
10 inline void read(int &x)
11 {
12     x=0;
13     char c=getchar();
14     while(c<‘0‘||c>‘9‘)c=getchar();
15     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)
16     {
17         x=(x<<3)+(x<<1)+(c^‘0‘);
18         c=getchar();
19     }
20 }
21 int main()
22 {
23     read(m);read(n);
24     for(register int i=1;i<=m;++i)//输入容量，没有连通的容量就为0
25     {
26         int x,y,z;
27         read(x);read(y);read(z);
28         c[x][y]+=z;//有可能两个点之间有多条管道
29     }
30     while(mark)
31     {
32         mark=false;
33         for(register int i=1;i<=n;++i)p[i]=true;//把每个点都设为可取
34         p[1]=false;//把1取走
35         q[1][0]=1;//放入队列
36         q[1][1]=0;//1的前面路径为0
37         int head=0,tail=1;//队列的头和尾
38         while(head<tail)//走第一遍，寻找起点到终点的路径
39         {
40             head++;
41             int x=q[head][0];//取出队首元素
42             for(register int i=1;i<=n;++i)
43             {
44                 if(p[i]&&(c[x][i]>f[x][i]||f[i][x]>0))//判断如果该点可取并且容量大于流量（因为f初始化为0，而不连通的两点c数组的值也为0，所以不会计入）或当前方向为反向时（反向没有容量）判断正向是否有流量，若有流量则代表有容量
45                 {
46                     p[i]=false;//设为不可取
47                     q[++tail][0]=i;//放入队列
48                     q[tail][1]=head;//记录路径（注意：存的是head，即当前点在队列中的位置）
49                     if(i==n)//如果当前点是终点，那么已经找到了一条路径
50                     {
51                         mark=true;
52                         break;//直接跳出循环
53                     }
54                 }
55             }
56             if(mark)break;
57         }
58         if(!mark)break;//如果找不到路径了，就是都搜完了，就跳出循环
59         int minn=inf,pos=tail;//minn代表瓶颈，pos从终点向前找
60         while(q[pos][1])//走第二遍，从后往前寻找瓶颈  //只要当前点的前面还有点
61         {
62             int x=q[q[pos][1]][0],y=q[pos][0];//x，y为一条管道的两个端点，x为前面的点，y为后面的点
63             if(c[x][y]>f[x][y])minn=min(minn,c[x][y]-f[x][y]);//如果容量大于流量，即还可以流，那么更新瓶颈
64             else if(f[y][x]>0)minn=min(minn,f[y][x]);//另一种情况，反向流量最大为正向流量
65             pos=q[pos][1];//进行下一个点的搜索
66         }
67         pos=tail;
68         while(q[pos][1])//走第三遍，更改路径上的流量
69         {
70             int x=q[q[pos][1]][0],y=q[pos][0];
71             if(c[x][y]>f[x][y])f[x][y]+=minn;//正向，（正向）流量加上瓶颈
72             else f[y][x]-=minn;//反向，（正向）流量减去瓶颈
73             pos=q[pos][1];
74         }
75     }
76     for(register int i=2;i<=n;++i)ans+=f[1][i];//从起点流出的必会流到终点，起点（或终点）的所有流量即为最大流
77     printf("%d",ans);
78     return 0;
79 }

网络最大流 EK