Machine Learning笔记（二） 单变量线性回归
注：本文内容资源来自 Andrew Ng 在 Coursera上的 Machine Learning 课程，在此向 Andrew Ng 致敬。
一、模型表示（Model Representation）
对于笔记（一）中的房价问题，如何进行求解，这将会是本文中讨论的重点。
现在假设有了更多的房屋价格数据，需要用一条直线来近似房屋价格的走势，如下图所示：
回顾笔记（一）中所讲 监督学习、非监督学习、回归 和 分类 的概念：
1. 监督学习（Supervised Learning）
对于数据的每一个样例，都有明确的输出值与之对应。
2. 非监督学习（Unsupervised Learning）
对于数据的每一个样例，其输出值名不明确。
3. 回归（Regression）
对于输入样本，预测的输出值是连续的实数。
4. 分类（Classification）
对于输入样本，预测的输出值是离散的。
由此可见，房价问题是一个 监督学习 问题，需要使用 回归 方法求解。
下面给出该问题的一些概念：
- m: 训练样本个数
- x: 输入变量/特征
- y: 输出变量/目标变量
- (x(i), y(i)): 第i个训练样本
对于给定的训练集（Training Set），我们希望利用学习算法（Learning Algorithm）找到一条直线，以最大地近似所有的数据，然后通过这条直线所表示的函数（h），来推测新的输入（x）的输出值（y），该模型表示如下：
h往往被称为假设函数，对应着x到y的映射，由于在本文例子中为一条直线，用上图右侧绿色公式表示。
由于假设函数为线性函数，且训练样本中输入变量只有一个特征（即尺寸），将此类问题称之为 单变量线性回归（Linear Regression with One Variable，或 Univariate Linear Regression）问题。
二、代价函数（Cost Function）
继续讨论上述问题的假设函数h：
如上图所示，hθ(x) 表示一条关于 x 的直线， θ0 和 θ1 是它的两个参数，要求 hθ(x)，就必须确定这两个参数。
那么，如何选择这两个参数呢？
对于只有数据的我们，并不知道 hθ(x) 的参数值，最简单的办法就是假设两个 θ 。对于不同的假设，hθ(x) 表示如下：
那么，怎么样选择参数 θ ，才能让 hθ(x) 与数据最近似？
一个很好的想法：选择 θ0 和 θ1 ，以使得对于所有的训练样本 (x, y) ， hθ(x) 都与 y 最相近。
如何才能说明最相近？我们可以通过调节参数 θ，以最小化所有训练样本点 (x, y) 与预测样本点(x,hθ(x)) 的距离的平方和来求得。
具体叙述如下：
注：m表示训练样本个数。将距离的平方和除以 2m，是为了后期求导方便二考虑，对最后结果不会造成影响。
因此，训练的目标，即是调节参数 θ0 和 θ1 ，以最小化代价函数 J(θ0, θ1)。
三、代价函数 直观展现 I（Intuition I）
为了方便的说明求解过程，先做一定的简化，假设 θ0 = 0，如下图右方所示，那么代价函数J只与 θ1相关。
当 θ1 = 1 时，求解过程如下，可得 J(1) = 0 。
当 θ1 = 0.5 时，求解过程如下，可得 J(0.5) ≈ 0.58 。
通过不断的尝试 θ1 的值，可以求出相应的 J(θ1) 的值，可以发现， J(θ1) 是关于 θ1 的二次函数，并且对于此样例中的三个数据，在 θ1 = 1 时， J(θ1) 取得最小值，且仅有一个最小值。
那么，我们可以猜想一下，最快速的方法求 J(θ1) 的最小值，就是求其关于 θ1 的导数。
四、代价函数 直观展现 II（Intuition II）
在 Intuition I 中，为了求解方便，我们残忍地抛弃了 θ1 ，但是 θ0 和 θ1 同等重要。现在，我们要将θ0 捡回来，并加以悉心照料。
现在假设 θ0 = 50， θ1 = 0.06 ，得到直线如下图所示：
在Intuition I中， J(θ1) 是关于 θ1 的二次函数。由于现在有两个参数 θ0 和 θ1 ，J(θ0, θ1) 利用 matlab/octave 绘图结果表示如下:
但是，这样的显示，尽管我们能够大致的了解到J的最小值所在的位置，但是并不太明显，因此，利用等值线的显示方法，可以将 θ1 ，J(θ0, θ1) 更加直观地展现。
等值线：处在该曲线上的所有点的值都相等，且越往内值越小。
例如，对于下面的 hθ(x) ，其 J(θ0, θ1) 的值在等值线中表示如图中红X所示：
选取另外的 θ 值， J(θ0, θ1) 的值更加接近最小值：
选取到合适的 θ 值后，J(θ0, θ1) 的值基本完全接近最小值：
五、梯度下降法（Gadient Descent）
现在我们已经知道，需要选择适当的 θ ，以将 J(θ0, θ1) 最小化，如下图所示：
在平面内， θ 的取值有无限种， 从而 J(θ0, θ1) 所表示的函数有无限种可能，我们不可能仅仅用猜测的方法得到所需要的结果。因而，寻求一种求 J(θ0, θ1) 最小值的方法极其重要。
典型的方法就是 梯度下降 法，如下图所示：
假设你现在站在一个山坡上，想要以最快的方法到达山底，通常我们会选择每一次向下迈一步，在多步之后到达山底。然而，有一种情况需要考虑，就是多多个山底的情况，在你选择不同的出发点时，可能会到达不同的山底：
我们所说的山底，就是 J(θ0, θ1) 的一个局部最优解，有时候局部最优解并不能代表全局最优解。庆幸的是，在文中的例子中，我们选择的假设函数 hθ(x) 是一条直线，从而 J(θ0, θ1) 是一个二次函数，它只有一个最优解，利用梯度下降方法可以很好的解决问题。
那么，如何迈每一步，也就是说如何执行梯度下降算法？其执行过程如下：
对于 θj ，先求 J(θ0, θ1) 关于 θj 的偏导，在乘以 α（称为学习率），再用 θj 减去这个值，相当于所有的 θj 都在一定程度上向最小值所表示的点迈进，这在图中就表示 J(θ0, θ1) 向下迈了一步。一直重复这一步骤，直到 θ0和θ1 基本不变即结束。
此处，需要注意以下几点，非常重要：
1. := 符号表示赋值，= 符号表示求真； 2. α 表示学习率，决定了梯度下降的步子迈得有多大，α > 0； 3. 所有的 θ 值必须同步更新。
六、梯度下降 直观展现（Gradient Descent Intuition）
我们知道了梯度下降方法的相关概念，现在进行直观的展现以解释梯度下降的执行过程。梯度下降算法如下：
为了更方便的解释，先让 θ0 := 0，这样 J 简化为关于 θ1 的一元二次函数。当 J(θ1) 关于 θ1 的导数大于0时， θ1 左移， J(θ1) 下降。当 J(θ1) 关于 θ1 的导数小于0时， θ1 右移， J(θ1) 仍然下降。
那么问题来了。 如果迈的步子太小， J(θ1) 每次只降低一点点，什么时候才能到最底部？ 如果迈的步子太大， J(θ1) 越过了最小值到达另一边，会出现什么情况？
这两个问题，跟学习率 α 有着极大的关系。如果 α 太小，梯度下降算法将会相当慢。如果 α 太大，梯度下降可能越过最小值，导致不收敛，甚至发散。
让人欣慰的一件事是，在大部分的问题中，随着 θ 逐渐靠近最优解，J(θ) 关于 θ 的偏导的绝对值将会更小，也就是说曲线更加平滑。这意味着 θ 的减少或增加逐渐缓慢，也就意味着，J(θ) 的减小将会逐渐缓慢。因此，我们并不需要在每一步去降低 α 的值。
七、线性回归梯度下降（Gradient Descent for Linear Regression）
现在，了解了梯度下降与线性回归，现在需要将它们进行结合，以求解本文中的房价问题的单变量线性回归模型。
对于线性回归模型，由于可以求 J(θ) 关于 θ 的偏导：
因而，梯度下降方法转化为如下形式（θ0 和 于 θ1 必须同步更新）：
而且，由于 J(θ0, θ1) 的形状是一个碗形的，因此梯度下降最后将收敛到最小值：
