《概率统计》多元随机变量

楔子

前两篇我们讨论的离散型和连续型随机变量都是单一变量，然而在现实当中，一个试验常常会涉及到多个随机变量。所谓多个随机变量是指在同一个试验结果之下产生的多个随机变量。这些随机变量的取值是由试验结果确定的，因此它们的取值会存在相互关联。这里我们先以离散型随机变量为例，将离散型随机变量的分布列和期望推广到多个随机变量的情况，并且进一步在此基础上讨论多元随机变量条件和独立的重要概念。

好了，此刻我们假设试验中不再只有一个随机变量，而是两个随机变量 X 和 Y，同时描述他们俩的取值概率，我们用什么方式？

联合分布列

基于之前讲过的离散型随机变量分布列的概念，这里为多元随机变量引入联合分布列，用 P_X,Y 对其进行表示。设 (x,y) 是随机变量 X 和 Y 的一组可能取值。因此对应的 (x,y) 的概率质量就定义为事件 {X=x,Y=y} 的概率：

P_X,Y?= P({X = x, Y = y})，也就是同时满足事件{X = x}和{Y = y}的概率。那么首先，来实际看一个联合分布列的表示。很明显，我们可以用一个二维表格来表示随机变量 X 和 Y 的联合分布列：

从这张表出发，就可以把联合分布列中所有的知识点都梳理一遍：

第一，可以从图中获得随机变量 X 和 Y 的任意一组取值的联合概率，例如：P_X,Y(x3,y2) = P(X=x3,Y=y2)=3/20

第二，对于由随机变量 X 和 Y 构成的任意事件集合也是一样的，例如定义事件集合 A={(x1,y2),(x3,y2),(x4,y4)}，那么很显然，我们直接就能从联合分布列中计算出事件集合的总概率：P((X,Y)∈A)=∑_(x,y)∈AP_X,Y(x,y) = 1/20+3/20+1/20=5/20

第三，也是最朴实的一点，我们把二维表中所有的联合概率进行相加，得到的结果必然是 1，这也满足概率的归一性。

边缘分布列

如果我们把事件集合再设置的讲究一些，例如把事件集合 A 设置为表中的第一列，即 A={(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3)}，此时我们计算出来的事件集合 A 的总概率也就是概率 P(X=x1)，对于这个概率，我们把它称为边缘概率：

P(X=x1) = 1/20 + 1/20 + 1/20 + 0 = 3/20

当然，更进一步，如果我们把随机变量 X 所有取值的边缘概率都计算出来，就能得到随机变量 X 的边缘分布列：

P_X(x) = P(X=x) = ∑_yP(X=x,Y=y) = ∑_yP_X,Y(x,y)

简单点，我们先求随机变量 X 每一个取值的边缘概率，就是把对应列的联合概率全部相加，然后再把 X=x_i 的所有边缘概率放在一起，就是随机变量 X 的边缘分布列。

当然，随机变量 Y 的边缘分布也是类似的，这里我们就不再赘述了。

边缘概率和边缘分布列的 “边缘” 是什么含义？一句话描述就是，随机变量 X 的边缘分布列及其任意一个边缘概率的取值，都是只与自己有关，而与其他的随机变量（这里是随机变量 Y）无关了。

而对应的联合分布列和联合概率中的联合二字，意思也很明显，这里面的取值需由所有的随机变量，即由随机变量 X 和 Y 共同决定。

条件分布列

在前面我们学习了，条件可以给某些事件提供补充信息，由于随机变量的取值也是一种事件。同样的，条件也可以对随机变量取某些值提供补充信息。因此我们是不是能引入随机变量的条件分布列呢？当然是可以的。

条件可以指某个事件的发生，当然也可以包含其他随机变量的取值。还是来看一张图：

可以发现，在某个事件 A 发生的情况下，随机变量 X 发生的条件分布列很容易给出，还记得条件概率的表达式么，把它拿过来直接套用过来就可以了。

P(X = x|A)表示在事件A发生的前提下，X=x的概率，也可以写成P_X|A(x)，感觉是不是很熟悉？但是有些关键点我还是要再提一下，首先对于随机变量 X 不同的取值 x1,x2,x3,...,xn，{X=x}∩A 彼此之间互不相容，并且他们的并集是整个事件 A。

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