[Poetize I]黑魔法师之门

描述 Description

　　applepi被囚禁的地点只有一扇门，当地 人称它为“黑魔法师之门”。这扇门上画着一张无向无权图，而打开这扇门的密码就是图中【每个点的度数大于零且都是偶数】的子图的个数对 1000000009取模的值。此处子图 (V, E) 定义为：点集V和边集E都是原图的任意子集，其中E中的边的端点都在V中。
　　但是Vani认为这样的密码过于简单，因此门上的图是动态的。起初图中只有N个顶点而没有边。Vani建造的门控系统共操作M次，每次往图中添加一条边。你必须在每次操作后都填写正确的密码，才能够打开黑魔法师的牢狱，去拯救伟大的领袖applepi。

题解：

题意很清楚，但是感觉很神。。。
刚开始一直在想如何构造，发现太复杂
然后查题解发现只有要当前两点在同一连通块里，ans*=2，最后输出ans-1
表示不理解，就没写。
昨天翻到了lyd的题解
他引入了一个叫 元环 的东西，然后证明答案就是 2^元环的个数
我表示对元环的概念不理解，然后发现如果把整张图画在一张平面上，那么 元环 就是 区域！
然后为什么加入一条边连接两个已在同一连通块里的时候区域数+1呢？
这使我想到了欧拉公式：
V+F-E=2
其中 V表顶点数，F表区域数，E表边数
加入一条边后E++，V不变，所以F要++
至于为什么答案就是2^区域-1
出题人说：
每一个区域有选或不选2种情况，若选就把这个区域的边界的边的选择次数++，最后把所有选择次数为奇数的边选出来救能够成答案。可以证明这是不重不漏的。
至于为什么不重不漏，我还没有思考出结果。
挖坑待填。。。
代码：

 1 #include<cstdio>
 2
 3 #include<cstdlib>
 4
 5 #include<cmath>
 6
 7 #include<cstring>
 8
 9 #include<algorithm>
10
11 #include<iostream>
12
13 #include<vector>
14
15 #include<map>
16
17 #include<set>
18
19 #include<queue>
20
21 #include<string>
22
23 #define inf 1000000000
24
25 #define maxn 250000
26
27 #define maxm 500+100
28
29 #define eps 1e-10
30
31 #define ll long long
32
33 #define pa pair<int,int>
34
35 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
36
37 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
38
39 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
40
41 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
42
43 #define mod 1000000009
44
45 using namespace std;
46
47 inline int read()
48
49 {
50
51     int x=0,f=1;char ch=getchar();
52
53     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
54
55     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=10*x+ch-‘0‘;ch=getchar();}
56
57     return x*f;
58
59 }
60 int n,m,fa[maxn];
61 inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
62
63 int main()
64
65 {
66
67     freopen("input.txt","r",stdin);
68
69     freopen("output.txt","w",stdout);
70
71     n=read();m=read();
72     for1(i,n)fa[i]=i;
73     int ans=1;
74     for1(i,m)
75     {
76         int x=find(read()),y=find(read());
77         if(x!=y)fa[x]=y;else ans<<=1,ans%=mod;
78         printf("%d\n",(ans-1+mod)%mod);
79     }
80
81     return 0;
82
83 }