【BZOJ】1702: [Usaco2007 Mar]Gold Balanced Lineup 平衡的队列

【题意】给定n头牛，k个特色，给出每头牛拥有哪些特色的二进制对应数字，[i,j]平衡当且仅当第i~j头牛的所有特色数量都相等，求最长区间长度。

【算法】平衡树+数学转化

【题解】统计前缀和sum[i][j]表示前i头牛特色为j的数量，则区间i~j平衡需要满足：

sum[j][1]-sum[i-1][1]=sum[j][2]-sum[i-1][2]=sum[j][3]-sum[i-1][3]=...

移项可得，只须

sum[j][1]-sum[j][2]=sum[i-1][1]-sum[i-1][2]

sum[j][1]-sum[j][3]=sum[i-1][1]-sum[i-1][3]

所以，我们将所有前缀和sum[i][k]-=sum[i][1]，那么区间i~j平衡只须sum[i-1][k]=sum[j][k],k=1~maxk。

动态寻找数字可以用平衡树实现，因为是找相等，map最方便。

另外，这类通过数学公式变换优化的例子十分常见，思考中将数学公式列出来有助于进一步发现数学特征。