基础
为简单起见,用(x,y)表示变量a和b在某一时刻的一组值。
以交换a和b的值为例
(a,b)-->(a+b,b)-->(a+b,a)-->(b,a)
引申一
如果是改变三个变量的值呢?比如(a,b,c)-->(c,a,b)(向右循环移一位)
(a,b,c)-->(a+b,b,c)-->(a+b,b+c,c)-->(a+b,b+c,a+b+c)-->(c,b+c,a+b+c)-->(c,a,a+b+c)-->(c,a,b)
自然想到n,比如(a1,a2,...,an)-->(an,a1,a2,...,an-1)(不会输入下标……有谁知道怎么输入下标吗?)
(a1,a2,...,an)-->(a1+a2+...+an-1,a2,...,an-1,an)(第1个数等于前n-1个数之和)
-->(a1+a2+...+an-1, a2+...+an,...,an-1+an,an)(第2个到第n-1个数分别加上其后所有的数)
-->(a1+a2+...+an-1, a2+...+an,...,an-1+an, a1+a2+...+an)(最后一个数为所有数的和)
-->(an, a1, a1+a2, a1+a2+a3, ...,a1+a2+...+an-2, a1+a2+...+an)(最后一个数分别减去前面所有的数)
-->(an, a1, a2, a1+a2+a3, ...,a1+a2+...+an-2, a1+a2+...+an)(第三个数等于第三个数减去第二个数)
-->(an, a1, a2, a3, ...,an-2, an-1)(类似地,依次求得后面的数)
感觉好复杂!有没有简单的思路呢?
(a1,a2,...,an)-->(a1+a2+...+an,a2, a3, ...,an-1,an)(第一个数为所有数字之和)
-->(a1+a2+...+an,a1, a3, ...,an-1,an)(第二个数等于第一个数减去所有其他数字之和得到a1)
-->(a1+a2+...+an,a1, a2, ...,an-1,an)(第三个数等于第一个数减去所有其他数字之和得到a2)
同理可得所需结果。
分析:
给出的第二个算法简单明了,但每次都需要所有数字的参与。
对比两种算法,突然觉得,实际上可以构造出无数种计算的方法的,只要保证每次计算之后,n个数字所含的信息量不变,都是可以经过有限次运算恢复出所有数字的。
引申二
如果是无序地变换呢?(a1,a2,...,an)-->(b1,b2,...,bn),(b1,b2,...,bn)是(a1,a2,...,an)的一个排列
实际上,(a1,a2,...,an)和(b1,b2,...,bn)构成了(a1,a2,...,an)的一个置换。(离散数学、近世代数)
以下分析基于引申一中的第二个算法,目的是为了减少总的运算次数(加减法),使用了置换群中的相关知识。
一个定理:一个置换可分解为不相交的轮换之积。(应用近世代数第二版P63)
可以按照算法二依次处理每个轮换。
当然了,这样会增加总的赋值次数。效率是否有提升有待验证,毕竟增加了置换分解的操作。
引申三
在笔试、面试题中,一般还需要考虑a+b的溢出情况,由此而得到的解决方案是
(a,b)-->(a^b,b)-->(a^b,a)-->(b,a)
通过观察可以发现,只需把+、- 替换为^即可。
更多思考
如何优化算法?围绕赋值次数,总的运算次数(加减等操作)等。
1、引申一中给出的第二个算法的总的赋值次数为n+1,这个是最小的赋值次数了。但如何证明?
2、同时,这个算法每次都需要所有数字的参与,肯定可以通过增加赋值次数来减小总的运算次数,何时算法运行效率最佳?
3、更进一步,如何根据赋值次数为k的算法,构造出赋值次数为k+1的算法?是否可行?
反过来,如何根据赋值次数为k+1的算法,构造出赋值次数为k的算法?
4、给定k(k大于等于n+1),构造赋值次数为k的算法。是否任意的k都有一个算法呢?
给定k,构造赋值次数为k的,总的运算次数最少的算法。
5、编程实现。
后记
在看《计算机程序设计艺术》时,1.1算法的习题部分的第一个习题提到用最少的替代次数实现(a,b,c,d)-->(b,c,d,a),就想到了不使用中间变量的(a,b)-->(b,a),好奇地看了下答案,答案引入一个中间变量……也是五次替代。然后就思维发散了一下。
“更多思考”部分貌似是一大坑啊。
不知网上是否已经有过相关的分析,简单搜了下,暂时没有发现。
不使用中间变量交换变量a、b的值的延伸,码迷,mamicode.com