斐波那契博大精深啊，还有求幂的迭代也有点意思
1 //斐波那契有好多中方法
2 #include <iostream>
3 #include <deque>
4 using namespace std;
5
6 //注意普通斐波那契，在太大数时就会发生越界，比如long long 只能存表示第92个数，这些都是小的斐波那契，当要大时，就得用大数方法了
7 //用int ，只能到第46个，47就不行了,unsighed int 只能到92
8 int fibnaq(int n) //采用vector或者deque的方法，用2个元素的话需要用到reverse，用三个元素的话可以不用，或者用2个元素用队列也可以
9 {
10 if(n<=0)
11 return -1;
12 deque<int> d(2);
13 d[0]=1;
14 d[1]=1;
15 if(n==1||n==2)
16 return 1;
17 for(int i=3;i<=n;i++)
18 {
19 int tmp=d.front();
20 d.pop_front();
21 d.push_front(tmp+d.back());
22 reverse(d.begin(),d.end());
23 }
24 return d.back();
25 }
26 int fibnaq2(int n) //数组实现,时间O(n),空间O(n)
27 {
28 int *A=new int[n];
29 A[0]=1;
30 A[1]=1;
31 if(n==1||n==2)
32 return 1;
33 for(int i=2;i<n;i++)
34 {
35 A[i]=A[i-1]+A[i-2];
36 }
37 delete[] A;
38 return A[n-1];
39 }
40
41 int fibnaq3(int n) //迭代实现，时间O(n)，空间O(1)，其实就是vector的用3个int来做，辗转相加法
42 {
43 if(n<=0)
44 return -1;
45 int a=1,b=1,c;
46 if(n==1||n==2)
47 return 1;
48 for(int i=3;i<=n;i++)
49 {
50 c=a+b;
51 a=b;
52 b=c;
53 }
54 return c;
55 }
56 long long fibnaq4(int n) //重头戏，公式法 f(n)=（(1+根号5.0）的n次方-（1-根号5.0）的n次方）/（(2.0的n次方）*根号5）
57 {
58 double gh5=sqrt(5.0);
59 return (pow(1+gh5,n)-pow(1-gh5,n))/(pow(2.0,n)*gh5);
60 }
61
62 /*
63 斐波那契数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：
64 (Fn, Fn-1) = (Fn-1, Fn-2)*A
65 求得A=(1 1)
66 (1 0)
67 (fn,fn-1) = (fn-1+fn-2,fn-2)
68 (fn-1,fn-2) = (fn-1,fn-2)*A
69 .....
70 (fn,fn-1) = (f1,f0)*A^(n-1).
71 f1=1,f0=0,f2=1.
72 只求fn，可以直接(fn,fn-1)
73 之所以能logn就是因为求幂运算可以采用二分法。
74 那么求数列的第n项就是等于求矩阵A的第n-1次幂，计算的速度非常快，时间复杂度为O(logn)。
75 首先我们用long long 型表示数列中的元素，它只能表示20位的整数，能表示的范围太小，最多第92个元素。
76 */
77
78 void multiply(long long A[2][2],long long B[2][2],long long C[2][2])
79 {
80 //for(int i=0;i<2;i++) //这样是不行的，因为有覆盖问题，还真的必须拆开写
81 // for(int j=0;j<2;j++)
82 // for(int k=0;k<2;k++)
83 // C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
84 int tmp[4];
85 tmp[0]=A[0][0]*B[0][0]+A[0][1]*B[1][0];
86 tmp[1]=A[0][0]*B[0][1]+A[0][1]*B[1][1];
87 tmp[2]=A[1][0]*B[0][0]+A[1][1]*B[1][0];
88 tmp[3]=A[1][0]*B[0][1]+A[1][1]*B[1][1];
89 C[0][0]=tmp[0];
90 C[0][1]=tmp[1];
91 C[1][0]=tmp[2];
92 C[1][1]=tmp[3];
93 }
94
95 int fibnaq5(int n) //采用矩阵方法的O（logn）
96 {
97 if(n<=0)
98 return -1;
99 if(n<=2)
100 return 1;
101 long long result[2][2]={{1,0},{0,1}}; //单位阵
102 long long a[2][2]={{1,1},{1,0}};
103 n=n-1; //注意n-1次方
104 while(n)
105 {
106 if(n&1)
107 multiply(result,a,result);
108 multiply(a,a,a);
109 n>>=1;
110 }
111 return result[0][0]; //因为（1，0）*result【2】【2】，为（fn，fn-1），fn=result【0】【0】。还是看编程之美才行啊
112
113
114
115 //a的n次方，迭代方法
116 int pow(int a,int n) //n必须是正的，否则移位死循环
117 {
118 int ans=1;
119 while(n)
120 {
121 if(n&1) //如果n是奇数如n=5，则首次乘以a，ans=a，则移位后一直是偶数，直到最后一次，n==1时，为奇数，又把最开始的a乘上了；如果开始n是偶数，则一直未a*=a，直到最后一次，乘以1.
122 //变成除以2也可以，但是不如移位好
123 ans*=a;
124 a*=a;
125 n>>=1;
126 // n/=2; //用n/=2，负数不会死循环，因为-1/2=0
127 }
128 return ans;
129 }
130
131 //递归求a的n次方
132 int pow2(int a,int n)
133 {
134 if(n==1)
135 return 1;
136 if(n==1)
137 return a;
138 int tmp=pow2(a,n/2);
139 if(n&1)
140 return a*tmp*tmp;
141 else
142 return tmp*tmp;
143 }
144
145
146 int main()
147 {
148 int n;
149 cin>>n;
150 cout<<fibnaq4(n)<<endl;
151 //cout<<pow2(2,4)<<endl;
152 system("pause");
153 }
斐波那契加求幂运算
时间： 2024-10-19 04:18:47