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对于一般的求a^b%c的值,当a,b都在long long范围内,c在1e9的时候,都可以用快速幂取模进行求解。
LL powerMod(LL x, LL k, LL m){ LL res = 1; while(x %= m, k){ if(k&1) res *= x, res %= m; x *= x, k >>=1; } return res; }
但是当其中的参数变得相对大之后,单纯的快速幂可能就不能解决问题了,下面这两个题就是当a^b%c中某个参数变大之后出现的问题。
题目大意:题意很简单,就是求a^b%c的结果,只是a,b,c的范围是 (1<=a,b,c<2^63)。
思路:这个题最关键的问题是在快速幂的时候,由于a的最大值是2^63-1,所以会出现乘法溢出,这也是最容易WA的地方。
要解决这个问题,就需要将乘法转换成加法,进行“快速乘”(暂且这么叫吧,我也不知道叫啥-。-),就是代码中的multiplyMod,接下来就没什么问题了。
#include <stdio.h> #include <iostream> #define ULL long long using namespace std; ULL n, m, mod; ULL multiplyMod(ULL x, ULL k, ULL m){ ULL res = 0; x %= m; while(k){ if(k&1){ res += x; if(res >= m) res -= m; } x += x; if(x >= m){ x -= m; } k >>=1; } return res; } ULL powerMod(ULL x, ULL k, ULL m){ ULL res = 1; while(k){ if(k&1){ res = multiplyMod(res, x, m); } x = multiplyMod(x, x, m), k >>=1; } return res; } int main() { while(~scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &mod)){ printf("%I64d\n", powerMod(n, m, mod)); } return 0; }
题目大意:一样的求a^b%c的结果,只是b的范围变得很大了, (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000)。
思路:对于这个问题,就需要用到一个公式
A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C)
对于这个公式,可以给出两个证明的博客,一个是aekdycoin大犇的证明:http://www.narutoacm.com/archives/a-pow-b-mod-m/
另一个是 http://www.narutoacm.com/archives/a-pow-b-mod-m/
有了理论支持,这个题也就不是什么问题了,代码如下。
#include <stdio.h> #include <string.h> #define LL long long int eular(int n){ int ret = 1; for(int i = 2; i*i <= n;i++) if(n%i == 0){ n /= i, ret *= i-1; while(n%i == 0) n /= i, ret *= i; } if(n > 1) ret *= n-1; return ret; } LL powerMod(LL x, LL k, LL m){ LL res = 1; while(x %= m, k){ if(k&1) res *= x, res %= m; x *= x, k >>=1; } return res; } LL n, mod; char m[1000005]; int main() { while(~scanf("%I64d%s%I64d", &n, m, &mod)){ LL phi = eular(mod); int len = strlen(m); LL num = 0; for(int i = 0; i < len; ++i){ if(len >= 10){ num = (num*10+(m[i]-'0'))%phi + phi; } else { num = num*10+(m[i]-'0'); } } printf("%I64d\n", powerMod(n, num, mod)); } return 0; }
FOJ 1752 && FOJ 1759 (a^b%c 的不同情况)
时间: 2024-10-25 03:24:41