数据流基本问题--独立元素计数（二）

该篇文章中问题的定义和上一篇文章《数据流基本问题--独立元素计数（一）》点击打开链接中一样。不过该篇文章里能给出-近似的算法。

一、算法的基本思想

该篇文章中的算法是上一篇文章中算法的改进。这里不再记录流中元素zeros(h(j))的最大值，而是将满足所有的元素放入到B中。如果流中有d个独立元素，那么平均会有个元素满足。所以应该是d的一个比较好的估计（|B|指的是B中元素总数目）。

二、算法的具体过程

算法的伪代码如下图所示。将一个元素j添加到B中时，是以g(j)和zeros(h(j))组成一对加进去的。没有直接存元素而是存元素哈希后的结果是为了节省空间的考虑。而且也存放zeros(h(j))是为了当B需要删除元素时需要用到它。

三、算法的评估

设为算法结束后|B|的大小，t为算法结束后z的取值。则对d的估计为：

可以证明，的期望和方差如下：

如果t=0，说明算法运行过程中并没有对z进行加一的操作。这时候计算的结果也就是|B|为d的精确解。

如果t>1，假设Fail事件为不是d的-近似。即：

可以证明

假设哈希函数g(i)可能有冲突造成的影响，上述算法结果是对d的-近似。

通过使用median trick，我们可以将算法提高到对d的近似（对所有）。