BZOJ4699 : 树上的最短路

这道题主要是要解决以下两个问题：

问题1：

给定一个点$x$，如何取出所有经过它的下水道？

一条下水道经过$x$等价于它起点在$x$的子树里面且终点不在$x$的子树里面，或者两端点的lca就是$x$。

对于第一种情况，也就是说起点在$x$的dfs序子区间里，终点小于$st[x]$或者大于$en[x]$。

假设下水道是$A-B$向$C-D$连边，并且$st[A]<st[B]$，

那么只需要不断查询$st[A]$在$[L,R]$里$st[B]$最大的下水道，以及$st[B]$在$[L,R]$里$st[A]$最小的下水道即可。

用线段树按dfs序维护终点$dfn$最小和最大的下水道，然后不断取出即可。

注意到Dijkstra的时候，$dis$不降，所以对于一条下水道，只有$A-B$里第一个被访问到的点才会用到它，所以在使用完毕后直接删除即可。

问题2：

如何求最短路？

考虑转化问题，改成求起点到每条有向边的最短路，这个最短路包括这条边本身的权值。

按距离维护一个小根堆，里面有两种元素：

$1.$某条有向树边$x->y$

$2.$某条下水道$A-B,C-D$

每次取出堆顶元素，如果是树边，那么枚举$y$的出边，同时将经过$y$的下水道都取出即可。

如果是下水道，那么暴力将$C-D$路径上所有没有访问过的点的出边都取出。

因为每个点只需要取一次，所以用并查集完成路经压缩即可。

总时间复杂度$O((n+m)\log n)$，空间复杂度$O(n+m)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int>P;
const int N=250010,M=100010,T=262150,BUF=12000000,OUT=5000000;
char Buf[BUF],*buf=Buf,Out[OUT],*ou=Out;int Outn[30],Outcnt;
int n,m,S,i,j,C,D,x,y,z,g[N],v[N<<1],w[N<<1],nxt[N<<1],ed,fa[N],G[N],NXT[M];bool vis[M];
int size[N],f[N],d[N],son[N],top[N],dfn,st[N],en[N];
int l1[N],r1[N],l2[N],r2[N],ea[M],eb[M],va[T],vb[T],cur,q[99],pos[M],l;
ll ans[N];P t,h[N*2+M];
struct E{int u,v,z,a,b,c;}e[M];
void sorta(int l,int r){
  int i=l,j=r,m=e[ea[(l+r)>>1]].a;
  do{
    while(e[ea[i]].a<m)i++;
    while(e[ea[j]].a>m)j--;
    if(i<=j)swap(ea[i],ea[j]),i++,j--;
  }while(i<=j);
  if(l<j)sorta(l,j);
  if(i<r)sorta(i,r);
}
void sortb(int l,int r){
  int i=l,j=r,m=e[eb[(l+r)>>1]].b;
  do{
    while(e[eb[i]].b<m)i++;
    while(e[eb[j]].b>m)j--;
    if(i<=j)swap(eb[i],eb[j]),i++,j--;
  }while(i<=j);
  if(l<j)sortb(l,j);
  if(i<r)sortb(i,r);
}
inline void read(int&a){for(a=0;*buf<48;buf++);while(*buf>47)a=a*10+*buf++-48;}
inline void write(ll x){
  if(!x)*ou++=48;
  else{
    for(Outcnt=0;x;x/=10)Outn[++Outcnt]=x%10+48;
    while(Outcnt)*ou++=Outn[Outcnt--];
  }
}
inline void add(int x,int y,int z){v[++ed]=y;w[ed]=z;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;}
inline void ADD(int x,int y){NXT[y]=G[x];G[x]=y;}
void dfs(int x){
  size[x]=1;
  for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(v[i]!=f[x]){
    f[v[i]]=x,d[v[i]]=d[x]+1;
    dfs(v[i]),size[x]+=size[v[i]];
    if(size[v[i]]>size[son[x]])son[x]=v[i];
  }
}
void dfs2(int x,int y){
  st[x]=++dfn;top[x]=y;
  if(son[x])dfs2(son[x],y);
  for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(v[i]!=son[x]&&v[i]!=f[x])dfs2(v[i],v[i]);
  en[x]=dfn;
}
inline int lca(int x,int y){
  for(;top[x]!=top[y];x=f[top[x]])if(d[top[x]]<d[top[y]])swap(x,y);
  return d[x]<d[y]?x:y;
}
inline int mergea(int x,int y){
  if(!x||!y)return x+y;
  return e[ea[x]].b>e[ea[y]].b?x:y;
}
inline int mergeb(int x,int y){
  if(!x||!y)return x+y;
  return e[eb[x]].a<e[eb[y]].a?x:y;
}
void build(int x,int a,int b){
  if(a==b){
    pos[a]=x;
    va[x]=vb[x]=a;
    return;
  }
  int mid=(a+b)>>1;
  build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
  va[x]=mergea(va[x<<1],va[x<<1|1]);
  vb[x]=mergeb(vb[x<<1],vb[x<<1|1]);
}
void ask(int x,int a,int b){
  if(C<=a&&b<=D){q[cur++]=x;return;}
  int mid=(a+b)>>1;
  if(C<=mid)ask(x<<1,a,mid);
  if(D>mid)ask(x<<1|1,mid+1,b);
}
inline void dela(int x){
  va[x=pos[x]]=0;
  for(x>>=1;x;x>>=1)va[x]=mergea(va[x<<1],va[x<<1|1]);
}
inline void delb(int x){
  vb[x=pos[x]]=0;
  for(x>>=1;x;x>>=1)vb[x]=mergeb(vb[x<<1],vb[x<<1|1]);
}
inline void put(const P&x){
  h[++l]=x;
  for(int i=l;i>1&&h[i]<h[i>>1];i>>=1)swap(h[i],h[i>>1]);
}
inline void get(){
  t=h[1],h[1]=h[l--];
  for(int i=1;;){
    ll tmp=h[i].first;int j=0;
    if((i<<1)<=l&&h[i<<1].first<tmp)tmp=h[j=i<<1].first;
    if((i<<1|1)<=l&&h[i<<1|1].first<tmp)j=i<<1|1;
    if(j)swap(h[i],h[j]),i=j;else return;
  }
}
inline void up(int x,ll d){
  if(fa[x]!=x)return;
  fa[x]=f[x];
  ans[x]=d;
  for(i=g[x];i;i=nxt[i])put(P(d+w[i],-i));
  for(i=G[x];i;i=NXT[i])if(!vis[i])vis[i]=1,put(P(d+e[i].c,i));
  C=l1[st[x]],D=r1[en[x]];
  if(C<=D){
    cur=0;ask(1,1,m);
    while(1){
      for(y=i=0;i<cur;i++)y=mergea(y,va[q[i]]);
      if(!y)break;
      if(e[ea[y]].b<=en[x])break;
      dela(y);
      if(!vis[y=ea[y]])vis[y]=1,put(P(d+e[y].c,y));
    }
  }
  C=l2[st[x]],D=r2[en[x]];
  if(C<=D){
    cur=0;ask(1,1,m);
    while(1){
      for(y=i=0;i<cur;i++)y=mergeb(y,vb[q[i]]);
      if(!y)break;
      if(e[eb[y]].a>=st[x])break;
      delb(y);
      if(!vis[y=eb[y]])vis[y]=1,put(P(d+e[y].c,y));
    }
  }
}
int F(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=F(fa[x]);}
int main(){
  fread(Buf,1,BUF,stdin);read(n),read(m),read(S);
  for(i=1;i<n;i++)read(x),read(y),read(z),add(x,y,z),add(y,x,z);
  dfs(d[1]=1),dfs2(1,1);
  for(i=1;i<=m;i++){
    read(e[i].u),read(e[i].v),read(x),read(y),read(e[i].c);
    ADD(lca(x,y),i);
    e[i].z=d[lca(e[i].u,e[i].v)];
    x=st[x],y=st[y];
    if(x>y)swap(x,y);
    e[i].a=x,e[i].b=y;
    ea[i]=eb[i]=i;
  }
  if(!m)m=1;
  sorta(1,m);
  sortb(1,m);
  build(1,1,m);
  for(j=m+1,i=n;i;i--){
    while(j>1&&e[ea[j-1]].a>=i)j--;
    l1[i]=j;
  }
  for(j=0,i=1;i<=n;i++){
    while(j<m&&e[ea[j+1]].a<=i)j++;
    r1[i]=j;
  }
  for(j=m+1,i=n;i;i--){
    while(j>1&&e[eb[j-1]].b>=i)j--;
    l2[i]=j;
  }
  for(j=0,i=1;i<=n;i++){
    while(j<m&&e[eb[j+1]].b<=i)j++;
    r2[i]=j;
  }
  for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
  up(S,0);
  while(l){
    get();
    if(t.second>0){
      z=e[t.second].z;
      for(x=F(e[t.second].u);d[x]>=z;x=F(x))up(x,t.first);
      for(x=F(e[t.second].v);d[x]>=z;x=F(x))up(x,t.first);
    }else up(v[-t.second],t.first);
  }
  for(i=1;i<=n;i++)write(ans[i]),*ou++=‘\n‘;
  fwrite(Out,1,ou-Out,stdout);
  return 0;
}