交叉验证 Cross-validation

现在假设这里有一堆数据，作为统计er的任务就是从这些数据中提取有用的信息。如何提取信息呢，我们的法宝就是–模型。模型在统计当中是极其重要的，学统计就是跟各种各样的模型混个脸熟。在模型的基础上，我们利用数据对模型的参数进行估计，从而通过参数化后的模型来描述数据的内在关系，了解数据内在的关系（pattern)非常必要，有助于对未来进行预测。

那么对于手里的数据，我们该套用什么样的模型呢？事实上，对于一个数据分析问题而言，可用的模型不只一个，不存在所谓最优的模型。你不能说，某个模型是最好的，其他模型都是不可取的，某个模型在某个问题下，可能解释能力优于其他模型，但这并不意味着在该类问题下，该模型就是万能的，可能换一种评价标准，这种模型就不是最好的。我们的任务是从几个备选模型中，按照某种评价标准，选择出较为合理的一个模型。

一个直接的想法是比较各个模型的对数据的拟合效果。例如，对于一个x,y

数据而言，线性回归的残差平方和可能比非线性回归的残差平方和要小，这时我们说，线性回归拟合效果更好，线性回归模型是理想的选择。但是这种比较方式存在一种缺陷—过拟合问题。有些模型，对原始数据拟合相当好，但是它的预测效果却出奇的差。更重要的是，数据分析的最终目的并不是拟合数据，而是对未来进行预测。一个合理的模型一方面可以拟合原始数据，另一方面又应该可以以高准确率进行预测。所以进行模型选择时，要综合考虑这两方面因素。情况常常是，拟合效果和预测误差二者鱼和熊掌不能兼得，我们需要在二者之间寻找一种平衡。

交叉验证就是基于这样的考虑。我们以K折交叉验证（k-folded cross validation)来说明它的具体步骤。

{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9}{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9}

为了简化，取k=10。在原始数据A的基础上，我们随机抽取一组观测，构成一个数据子集（容量固定）,记为A1

重复以上过程10次，我们就会获得一个数据子集集合 　　　　 {A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10}

。

接下来，我们首先对模型M1

进行交叉验证，如下,

在{A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10}基础上构建模型M1，并对数据集A1进行验证，将预测值与真值进行比较，在某一评价标准下，计算一个得分a1,1
.
在{A1,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10}
基础上构建模型M1，并对数据集A2进行验证，将预测值与真值进行比较，在同一评价标准下，计算一个得分a1,2
.
……
在{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9}
基础上构建模型，并对数据集A10进行验证，将预测值与真值进行比较，在同一评价标准下，计算一个得分a1,10
.
a1=a1,1+a1,2+…+a1,10/10
作为模型M1的综合得分。

{A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A1

对每个模型都这样过一遍，最后得到了每个模型的一个得分，按照得分，我们就可以选择最合理的模型。

将数据打成好多份，交叉验证模型，很有点bootstrap的意思，bootstrap的思想渗透到了统计学的各个领域了已经。

除了K折交叉验证，另外两种交叉验证为Hold Out 验证和留一验证：

Hold验证：常识来说，Holdout 验证并非一种交叉验证，因为数据并没有交叉使用。 随机从最初的样本中选出部分，形成交叉验证数据，而剩余的就当做训练数据。 一般来说，少于原本样本三分之一的数据被选做验证数据。

留一验证： 正如名称所建议， 留一验证（LOOCV）意指只使用原本样本中的一项来当做验证资料， 而剩余的则留下来当做训练资料。 这个步骤一直持续到每个样本都被当做一次验证资料。 事实上，这等同于 K-fold 交叉验证是一样的，其中K为原本样本个数。

一、训练集 vs. 测试集

在模式识别（pattern recognition）与机器学习（machine learning）的相关研究中，经常会将数据集（dataset）分为训练集（training set）跟测试集（testing set）这两个子集，前者用以建立模型（model），后者则用来评估该模型对未知样本进行预测时的精确度，正规的说法是泛化能力（generalization ability）。怎么将完整的数据集分为训练集跟测试集，必须遵守如下要点：

1、只有训练集才可以用在模型的训练过程中，测试集则必须在模型完成之后才被用来评估模型优劣的依据。
2、训练集中样本数量必须够多，一般至少大于总样本数的50%。
3、两组子集必须从完整集合中均匀取样。
       
其中最后一点特别重要，均匀取样的目的是希望减少训练集/测试集与完整集合之间的偏差（bias），但却也不易做到。一般的作法是随机取样，当样本数量足
够时，便可达到均匀取样的效果，然而随机也正是此作法的盲点，也是经常是可以在数据上做手脚的地方。举例来说，当辨识率不理想时，便重新取样一组训练集/
测试集，直到测试集的识别率满意为止，但严格来说这样便算是作弊了。

二、交叉验证（Cross Validation）

交叉验证（Cross
Validation）是用来验证分类器的性能一种统计分析方法，基本思想是把在某种意义下将原始数据（dataset）进行分组，一部分做为训练集
（training set），另一部分做为验证集（validation
set），首先用训练集对分类器进行训练，在利用验证集来测试训练得到的模型（model），以此来做为评价分类器的性能指标。常见的交叉验证方法如下：

1、Hold-Out Method

将原始数据随机分为两组，一组做为训练集，一组做为验证集，利用训练集训练分类器，然后利用验证集验证模型，记录最后的分类准确率为此分类器的性能指标。
此种方法的好处的处理简单，只需随机把原始数据分为两组即可，其实严格意义来说Hold-Out
Method并不能算是CV，因为这种方法没有达到交叉的思想，由于是随机的将原始数据分组，所以最后验证集分类准确率的高低与原始数据的分组有很大的关
系，所以这种方法得到的结果其实并不具有说服性。

2、Double Cross Validation（2-fold Cross Validation，记为2-CV）

做法是将数据集分成两个相等大小的子集，进行两回合的分类器训练。在第一回合中，一个子集作为training set，另一个便作为testing
set；在第二回合中，则将training set与testing set对换后，再次训练分类器，而其中我们比较关心的是两次testing
sets的辨识率。不过在实务上2-CV并不常用，主要原因是training
set样本数太少，通常不足以代表母体样本的分布，导致testing阶段辨识率容易出现明显落差。此外，2-CV中分子集的变异度大，往往无法达到“实
验过程必须可以被复制”的要求。

3、K-fold Cross Validation（K-折交叉验证，记为K-CV）

将原始数据分成K组（一般是均分），将每个子集数据分别做一次验证集，其余的K-1组子集数据作为训练集，这样会得到K个模型，用这K个模型最终的验证
集的分类准确率的平均数作为此K-CV下分类器的性能指标。K一般大于等于2，实际操作时一般从3开始取，只有在原始数据集合数据量小的时候才会尝试取
2。K-CV可以有效的避免过学习以及欠学习状态的发生，最后得到的结果也比较具有说服性。

4、Leave-One-Out Cross Validation（记为LOO-CV）

如果设原始数据有N个样本，那么LOO-CV就是N-CV，即每个样本单独作为验证集，其余的N-1个样本作为训练集，所以LOO-CV会得到N个模
型，用这N个模型最终的验证集的分类准确率的平均数作为此下LOO-CV分类器的性能指标。相比于前面的K-CV，LOO-CV有两个明显的优点：
（1）每一回合中几乎所有的样本皆用于训练模型，因此最接近原始样本的分布，这样评估所得的结果比较可靠。
（2）实验过程中没有随机因素会影响实验数据，确保实验过程是可以被复制的。

但LOO-CV的缺点则是计算成本高，因为需要建立的模型数量与原始数据样本数量相同，当原始数据样本数量相当多时，LOO-CV在实作上便有困难几乎就是不显示，除非每次训练分类器得到模型的速度很快，或是可以用并行化计算减少计算所需的时间。

三、使用Cross-Validation时常犯的错误

由于实验室许多研究都有用到 evolutionary
algorithms（EA）与 classifiers，所使用的 fitness function 中通常都有用到 classifier
的辨识率，然而把cross-validation 用错的案例还不少。前面说过，只有 training data 才可以用于 model
的建构，所以只有 training data 的辨识率才可以用在 fitness function 中。而
EA 是训练过程用来调整 model 最佳参数的方法，所以只有在 EA结束演化后，model 参数已经固定了，这时候才可以使用 test
data。那 EA 跟 cross-validation 要如何搭配呢？Cross-validation
的本质是用来估测(estimate)某个 classification method 对一组 dataset 的 generalization
error，不是用来设计 classifier 的方法，所以 cross-validation 不能用在 EA的 fitness
function 中，因为与 fitness function 有关的样本都属于 training set，那试问哪些样本才是 test
set 呢？如果某个 fitness function 中用了cross-validation 的 training 或 test
辨识率，那么这样的实验方法已经不能称为 cross-validation 了。

EA 与 k-CV 正确的搭配方法，是将 dataset 分成 k
等份的 subsets 后，每次取 1份 subset 作为 test set，其余 k-1 份作为 training set，并且将该组
training set 套用到 EA 的 fitness function 计算中(至于该 training set
如何进一步利用则没有限制)。因此，正确的 k-CV 会进行共 k 次的 EA 演化，建立 k 个classifiers。而
k-CV 的 test 辨识率，则是 k 组 test sets 对应到 EA 训练所得的 k 个 classifiers 辨识率之平均值。