主成分分析(PCA)是一种能够极大提升无监督特征学习速度的数据降维算法。更重要的是,理解PCA算法,对实现白化算法有很大的帮助,很多算法都先用白化算法作预处理步骤。这里以处理自然图像为例作解释。
1.计算协方差矩阵:
按照通常约束,x为特征变量,上边表示样本数目,下标表示特征数目。这里样本数为m。
xRot = zeros(size(x)); sigma=x*x‘/size(x,2); %sigma为协方差矩阵 [U,S,V]=svd(sigma); %U为特征向量,X为特征值,V为U的转置,S只有对角线元素非零,为λ1...λn,且它们按照由大到小排序。 xRot = U‘*x; %xRot为将原x
.
是主特征向量(对应最大的特征值),
是次特征向量。以此类推,另记
为相应的特征值。
- u1...u2为一组基,U*x即将x映射到以U为基的新空间下。
-
covar = zeros(size(x, 1)); % You need to compute this
sigma1=xRot*xRot‘/size(x,2);
[U1,S1,V1]=svd(sigma1);
covar = S1; %S为特征值,只有对角线非零
% Visualise the covariance matrix. You should see a line across the
% diagonal against a blue background.
figure(‘name‘,‘Visualisation of covariance matrix‘);
imagesc(covar); %验证投影后协方差矩阵计算是否正确本来可以看到有颜色的对角线,因为这个数据集对角线取值范围原因,无法看到,只能得出左图效果。(The image should show a coloured diagonal line against a blue background. For this dataset, because of the range of the diagonal entries, the diagonal line may not be apparent, so you might get a figure like the one show below)
2.找出主成分个数k
既然是降维,如果全部选取主成分则不起到降维作用,例如步骤一中只是将x映射到另一组基所在的空间,并没有减少维数。如何选择
,即保留多少个PCA主成分?对于高维数据来说,做这个决定就没那么简单:如果
过大,数据压缩率不高,在极限情况
时,等于是在使用原始数据(只是旋转投射到了不同的基);相反地,如果
过小,那数据的近似误差太太。决定
值时,我们通常会考虑不同
值可保留的方差百分比。具体来说,如果
,那么我们得到的是对数据的完美近似,也就是保留了100%的方差,即原始数据的所有变化都被保留下来;相反,如果
,那等于是使用零向量来逼近输入数据,也就是只有0%的方差被保留下来。
一般而言,设
表示
的特征值(按由大到小顺序排列),使得
为对应于特征向量
的特征值。那么如果我们保留前
个成分,则保留的方差百分比可计算为:
即n为所有特征值,取前k项特征值后与全部特征值的比值即为对主成分的保留程度,比值越大保留越多,降维程度越低。
下面设定保留程度为99%,计算k值。
k = 0; % Set k accordingly s=diag(S); sum_s=sum(s); lambda=0; for i=1:size(s,1) lambda = lambda+s(i); if lambda/sum_s>=0.99 %当所选取特征值之和大于99%则break break; end k=i; %经计算k=88 end
3.降维并对比
通过选取前k项特征值,决定将原图像的维数降至k维。而后将降维后的图像”复原“,与原图对比。
xHat = zeros(size(x)); % You need to compute this xRot1= U(:,1:k)‘*x; %取前k项特征向量与x相乘 xHat = U(:,1:k)*xRot1; %复原
复原的方法:矩阵
有正交性,即满足
,所以若想将旋转后的向量
还原为原始数据
,将其左乘矩阵
即可:
, 验算一下:
.
原始图像 降至k(=88)维后复原
4.白化、正则化我们已经了解了如何使用PCA降低数据维度。在一些算法中还需要一个与之相关的预处理步骤,这个预处理过程称为白化(一些文献中也叫sphering)。举例来说,假设训练数据是图像,由于图像中相邻像素之间具有很强的相关性,所以用于训练时输入是冗余的。白化的目的就是降低输入的冗余性;更正式的说,我们希望通过白化过程使得学习算法的输入具有如下性质:(i)特征之间相关性较低;(ii)所有特征具有相同的方差。
协方差矩阵对角元素的值为
和
绝非偶然。并且非对角元素值为0; 因此,
和
是不相关的, 满足我们对白化结果的第一个要求 (特征间相关性降低)。为了使每个输入特征具有单位方差,我们可以直接使用
作为缩放因子来缩放每个特征
。具体地,我们定义白化后的数据
如下:
% 这里仅仅是对映射后的特征Xrot进行白化,没有降维!!!epsilon = 0.1; xPCAWhite = zeros(size(x)); xPCAWhite = diag(1./sqrt(diag(S)+epsilon))*xRot; %注意这里epsilon不为零,即施加正则化
sigma2=xPCAWhite1*xPCAWhite1‘/size(xPCAWhite1,2); [U2,S2,V2]=svd(sigma2); covar = S2; imagesc(covar); %画图,颜色对角线由红变蓝
对于epsilon的解释:正则化。实践中需要实现PCA白化或ZCA白化时,有时一些特征值
在数值上接近于0,这样在缩放步骤时我们除以
将导致除以一个接近0的值;这可能使数据上溢 (赋为大数值)或造成数值不稳定。因而在实践中,我们使用少量的正则化实现这个缩放过程,即在取平方根和倒数之前给特征值加上一个很小的常数
:
当
在区间
上时, 一般取值为
。对图像来说, 这里加上
,对输入图像也有一些平滑(或低通滤波)的作用。这样处理还能消除在图像的像素信息获取过程中产生的噪声,改善学习到的特征。
%这里仅仅是对映射后的特征xRot进行白化,没有降维!!!epsilon=0;xPCAWhite1 = diag(1./sqrt(diag(S)+epsilon))*xRot; %注意这里额epsilon为零,即没有施加正则化 sigma2=xPCAWhite1*xPCAWhite1‘/size(xPCAWhite1,2); [U2,S2,V2]=svd(sigma2); covar = S2; imagesc(covar); %画图:颜色对角线全红
那么问题来了,正则化与否有什么区别呢???原文这样写:PCA whitening without regularisation results a covariance matrix that is equal to the identity matrix. PCA whitening with regularisation results in a covariance matrix with diagonal entries starting close to 1 and gradually becoming smaller.意思是:不经正则化的PCA白化得到的特征矩阵S等价于单位阵,即代码[U,S,V]中的S。(文中是说特征矩阵,但是只有对角线非零的矩阵只有特征矩阵);而经过正则化的PCA白化得到的特征矩阵对角线元素的值由近似1逐渐下降。文中给出区别:前者的S在图中为蓝色背景下一条红色的对角线(you should see a red line across the diagonal (one entries against a blue background),后者的S在图像中表现为红色由对角线渐变为蓝色(you should see a red line that slowly turns blue across the diagonal)。上图:
不经过正则化的PCA白化 经过正则化的PCA白化
白化与降维相结合。 如果你想要得到经过白化后的数据,并且比初始输入维数更低,可以仅保留
中前
个成分。当我们把PCA白化和正则化结合起来时,
中最后的少量成分将总是接近于0,因而舍弃这些成分不会带来很大的问题。 上文已经提到过了,上文只是白化,没有降维,而当我们向将白化与降维结合时,要正则化,因为此时特征值S中最后的少量成分将减小至零。
5.ZCA白化
经过PCA白化(不经过正则化)后,数据现在的协方差矩阵为单位矩阵
。我们说,
是数据经过PCA白化后的版本:
中不同的特征之间不相关并且具有单位方差。要说明的是,使数据的协方差矩阵变为单位矩阵
的方式并不唯一。具体地,如果
是任意正交矩阵,即满足
(说它正交不太严格,
可以是旋转或反射矩阵), 那么
仍然具有单位协方差。在ZCA白化中,令
。我们定义ZCA白化的结果为:
。
当使用 ZCA白化时(不同于 PCA白化),我们通常保留数据的全部
个维度,不尝试去降低它的维数。
xZCAWhite = zeros(size(x)); epsilon = 0.1; xZCAWhite = U*diag(1./sqrt(diag(S)+epsilon))*U‘*x;%经过ZCA白化与原图对比 figure(‘name‘,‘ZCA whitened images‘); display_network(xZCAWhite(:,randsel)); figure(‘name‘,‘Raw images‘); display_network(x(:,randsel));
原图 经过ZCA白化
You should observe that whitening results in, among other things, enhanced edges. 边缘增强。