一，什么是最小生成树

1，什么是生成树

如果连通图G的一个子图是一棵包含G所有顶点的树，则该子图成为G的生成树。

生成树是含有该连通图全部顶点的一个极小连通子图，它并不是唯一的，从不同的顶点出发可以得到不同的子树。含有N个顶点的连通图的生成树有N-1条边。

2，如何求一个连通图的生成树

要求一个连通图的生成树只需要从一个顶点出发，做一次深度优先或广度优先的搜索，将所经过的N个顶点和N-1条边连接起来，就形成了一个极小连通子图，也就是一棵生成树。

3，最小生成树

对一个带权的图，在一棵生成树中，各条边的权值之和为这棵生成树的代价，其中代价最小的生成树成为最小生成树。

二，计算最小生成树的两种算法

1，Prim算法

假设G=（V,E）是一个带权图，生成的最小生成树为MinT=(V,T),其中V为顶点的集合，T为边的集合。

算法描述：

1，初始化：U={u0},T={}.

其中U为一个新设置的顶点的集合，初始U中只含有顶点u0,这里假设在构造最小生成树时，从顶点u0出发；

2，对所有的u∈U,
v∈（V-U）的边中，找一条权最小的边（u‘,v‘）,将这条边加入到集合T中，将顶点v‘加入到集合U中；

3，如果U=V，则算法结束；否则重复2,3步；

最后，找到V3和包围圈内的最小的边：

2，Kruskal算法

算法描述：

1，设G=（V,E），令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的,非连通图T=（V,{}），每个顶点自成一个连通分量；

2，在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边。

3，依此类推，重复2，直至T中所有顶点都在同一连通分量上。