自己动手写Java大整数《4》扩展欧几里得和Mod逆

/*

*我把这个大整数的系列写成了Code中的项目，见https://code.csdn.net/XUE_HAIyang/bignumber

*/

之前已经完成了大整数的表示、绝对值的比较大小、取负值、加减法运算、乘法运算以及除法和余数运算。具体见我的主页前三篇博客（自己动手写Java系列
）。

这篇博客添加求大整数GCD、扩展欧几里得算法和求Mod逆的算法。

扩展欧几里得算法

说道扩展的欧几里得算法，首先我们看下简单的欧几里得算法。经典的欧几里得算法就是

计算两个整数的最大公因子的算法，所基于的原理就是GCD（a， b）=GCD（b, a%b). 不断地迭代

下去就行了。代码见

/*
		 * mod 运算，模数是一个正数,被模数可以是负数，返回mod数
		 */

		public DecimalBig Mod(DecimalBig modnumber)
		{
			DecimalBig tempthis =Zero;
			if (this.sign==-1)
				tempthis=this.DivideReminder(modnumber).Add(modnumber);
			else
				tempthis=this;
			return tempthis.DivideReminder(modnumber);
		}
		/**
	     * Returns a DecimalBig whose value is the greatest common divisor of
	     * {@code abs(this)} and {@code abs(val)}.  Returns 0 if
	     * {@code this == 0 && val == 0}.
	     *
	     * @param  val value with which the GCD is to be computed.
	     * @return {@code GCD(abs(this), abs(val))}
	     */

		public DecimalBig gcd(DecimalBig val)
		{
			if(val==Zero)
				return this;
			return val.gcd(this.Mod(val));

		}

扩展的欧几里得算法不仅要计算a和b的做大公因子而且还要将其用a和b线性表出，

也就是计算出x和y使得GCD（a， b）=xa+yb；

算法我就引用<introduction to modern Computer Algebra>上的算描述了。

实现见代码

		/**
	     * Returns a DecimalBig whose value is the linear representation of
	     * {@code abs(this)} modulus {@code abs(val)}.
	     *
	     * 这里边我们返回的是x使得x*this+yval=GCD(this,val);
	     * 如果return为t0则返回的是y使得x*this+yval=GCD(this,val)。
	     */
		    private DecimalBig ExtGCD(DecimalBig val)
			{
				DecimalBig r0=this, r1=val;
				DecimalBig s0=One, s1=Zero;
				DecimalBig t0=Zero, t1=One;
				DecimalBig temp_r, temp_s, temp_t;

				while(r1.Compare(Zero)!=0)
				{
					DecimalBig q=r0.Divide(r1);
	<span style="white-space:pre">				</span>temp_r=r0.Substract(q.Multiply(r1));
<span style="white-space:pre">					</span>temp_s=s0.Substract(q.Multiply(s1));
<span style="white-space:pre">					</span>temp_t=t0.Substract(q.Multiply(t1));
<span style="white-space:pre">					</span>

					r0=r1;r1=temp_r;
					s0=s1;r1=temp_s;
					t0=t1;r1=temp_t;

				}

				return s0;

			}
			

求Mod逆的算法。

扩展的欧几里得算法已经实现了，求mod 逆就是公因子是1的特例

	/**
	     * Returns a DecimalBig whose value is the greatest common divisor of
	     * {@code abs(this)} and {@code abs(val)}.  Returns 0 if
	     * {@code this == 0 && val == 0}.
	     *
	     * @param  val value with which the GCD is to be computed.
	     * @return {@code GCD(abs(this), abs(val))}
	     */
		public DecimalBig Inv_Mod(DecimalBig val)
		{

			if (val.sign != 1)
	            throw new ArithmeticException("DecimalBig: modulus not positive");
			if (this.gcd(val).Compare(One)==1)
				throw new ArithmeticException("DecimalBig: modulus and this have commen dividor >1 ");

			return this.ExtGCD(val);

		}

自己动手写Java大整数《4》扩展欧几里得和Mod逆