洛谷P1082/NOIP2012 同余方程

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

输出格式：

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 10

输出样例#1： 复制

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

分析

这题让你求a在mod b意义下的逆元，但是不能用费马小定理去做，因为b不一定是质数。

第二种求逆元的方法是扩展欧几里德算法，ax=1(mod b),转换一下,ax-by=1。这个就是不定方程。

只有当gcd(a,b)==1时在mod b意义下有唯一解。但题目保证有解，所以最后直接把答案转换为正数再mod b 就行了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a,b; ll x,y;
void exgcd(int a,int b,ll &x,ll &y){
    if(!b){x=1;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    x=(x%b+b)%b;
    printf("%lld\n",x);
}