2286: [Sdoi2011消耗战
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Description
在一场战争中,战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成,保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在,我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿,而且他们已经没有足够多的能源维系战斗,我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源,为了防止敌军获取能源,我军的任务是炸毁一些桥梁,使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同,所以炸毁不同的桥梁有不同的代价,我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。
侦查部门还发现,敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后,他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁,而且会重新随机资源分布(但可以保证的是,资源不会分布到1号岛屿上)。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次,所以我们只需要把每次任务完成即可。
Input
第一行一个整数n,代表岛屿数量。
接下来n-1行,每行三个整数u,v,w,代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连,保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。
第n+1行,一个整数m,代表敌方机器能使用的次数。
接下来m行,每行一个整数ki,代表第i次后,有ki个岛屿资源丰富,接下来k个整数h1,h2,…hk,表示资源丰富岛屿的编号。
Output
输出有m行,分别代表每次任务的最小代价。
Sample Input
10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6
Sample Output
12
32
22
HINT
对于100%的数据,2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1
对于每次查询,如果用一次树型dp就能得出结果。
dp方程:
f[father]+=fmin(g[son]?inf:f[son],(min_e(son,father));(g[i]标记是否是关键点)
这个时间效率很直观O(m*n)
每次查询,我们只需要遍历关键点与关键点之间的lca,其它点时可忽略的或可跳跃的。
那么就需要用到虚树的技巧了,虚树就是通过维护一个单调栈把树的关键点和它们之间的lca按照dfs序遍历一遍,遍历的过程中通过单调栈的调整来理清树的父亲和儿子之间的关系。
首先,对树节点进行dfs。在期间对节点进行标号dfn。
然后,维护一个单调栈。这个单调栈的节点都在一条链上。
对于栈顶元素 p,栈次顶元素 q, 即将插入节点x 有如下关系:
1.lca是p.此时dfn(x)>dfn(p)=dfn(lca)
这说明 x在p的下面,直接把x入栈即可
2.p和x分立在lca的两棵子树下.此时 dfn(x)>dfn(p)>dfn(ilca)
这时候就有三种讨论了
针对这道题的连边就是树型dp处理
(1)如果dfn(q)>dfn(lca),可以直接连边q->p,然后退一次栈.
(2)如果dfn(q)=dfn(lca),说明q=lca,直接连边lca->p,把p退栈,此时子树已经构建完毕.
(3)如果dfn(q)<dfn(lca),说明lca被p与q夹在中间,此时连边lca->q,把p退栈,再把lca压入栈.此时子树构建完毕.
重复判断上述过程
这里处理 min_e(p,q) p到q的路径中权值最小的边。需要用倍增lca或者树剖也是可以的。这个参见《挑战程序设计竞赛》吧,改改代码就可以了
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <vector> #include <algorithm> #define find_min(a,b) a>b?b:a #define MAX_V 250008 #define MAX_LOG_V 21 #define INF 0x3f3f3f3f #define inf (1ll<<40) using namespace std; typedef long long int ll; struct edge{ int to,cost; }; vector<edge> G[MAX_V]; int par[MAX_LOG_V][MAX_V];//v节点向上走2^k步走到的节点 int mng[MAX_LOG_V][MAX_V];//v节点向上走2^k步中路过最小的边 int dfn[MAX_V];//每个点的dfs序标号 int dep[MAX_V];//深度 ll f[MAX_V];//树型dp struct node{ int h,dfn; }hs[MAX_V]; bool g[MAX_V];//是否是关键点 int sta[MAX_V*2];// 模拟栈 int icnt;//栈顶 、id int swap(int &x,int &y) {//交换 x=x^y;y=x^y,x=x^y; } //当前点、父亲节点 、深度、连接父亲点的边权 void dfs(int v,int p,int d,int pre_e) {//lca搜索预处理 par[0][v]=p,dep[v]=d,mng[0][v]=pre_e,dfn[v]=icnt++; for(int i=0;i<G[v].size();++i) if(G[v][i].to!=p) dfs(G[v][i].to,v,d+1,G[v][i].cost); } void init_tree() {//预处理lca查询 icnt=0;//id初始化为0 dfs(1,-1,0,INF); for(int k=0;k+1<MAX_LOG_V;++k) for(int v=1;v<=MAX_V;++v) { if(par[k][v]<0)//超过树根 par[k+1][v]=-1,mng[k+1][v]=INF; else {//能前进 2^(k+1)步 int u=par[k][v]; par[k+1][v]=par[k][u]; mng[k+1][v]=find_min(mng[k][v],mng[k][u]); } } } int lca(int u,int v) { if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v); //先到同一深度 for(int k=0;k<MAX_LOG_V;++k) if((dep[v]-dep[u])>>k & 1) v=par[k][v]; if(u==v) return u; //同时向上 二分查询 for(int k=MAX_LOG_V-1;k>=0;--k) if(par[k][u]!=par[k][v]) u=par[k][u],v=par[k][v]; return par[0][u]; } int min_e(int u,int v) { int ilca=lca(u,v); int res=INF; //u->lca int mov; if(dep[ilca]<dep[u]) { mov=dep[u]-dep[ilca]; for(int k=0;k<MAX_LOG_V;++k) if(mov>>k &1) res=find_min(res,mng[k][u]),u=par[k][u]; } //v->lca if(dep[ilca]<dep[v]) { mov=dep[v]-dep[ilca]; for(int k=0;k<MAX_LOG_V;++k) if(mov>>k &1) res=find_min(res,mng[k][v]),v=par[k][v]; } return res; } void add_edge(int u,int v,int c) { G[u].push_back((edge){v,c}); G[v].push_back((edge){u,c}); } void init() {//初始化边数置0 for(int i=0;i<MAX_V;++i) G[i].clear(); } int cmp(const void *a,const void *b) { return ((node *)a)->dfn-((node *)b)->dfn; } ll fmin(ll a,ll b) { return a>b?b:a; } void solve(int k) { for(int i=1;i<=k;++i) { int o=hs[i].h; hs[i].dfn=dfn[o];//同步搜索序id } qsort(hs+1,k,sizeof(hs[0]),cmp); int tp=0; sta[tp]=0; sta[++tp]=1; f[1]=0,g[1]=0; for(int i=1;i<=k;++i) { int p=sta[tp],q=sta[tp-1],x=hs[i].h; int ilca=lca(p,x); while(dfn[p]>dfn[ilca]) { if(dfn[q]<=dfn[ilca]) { int tmp=fmin(g[tp]?inf:f[tp],(ll)min_e(p,ilca)); sta[tp--]=0; if(ilca!=q) sta[++tp]=ilca,f[tp]=0,g[tp]=0; f[tp]+=tmp; break; } else { f[tp-1]+=fmin(g[tp]?inf:f[tp],(ll)min_e(p,q)); sta[tp--]=0; } p=sta[tp],q=sta[tp-1]; } if(sta[tp]!=x) sta[++tp]=x,f[tp]=0; g[tp]=1; } while(tp>1) { int p=sta[tp],q=sta[tp-1]; f[tp-1]+=fmin(g[tp]?inf:f[tp],(ll)min_e(p,q)); sta[tp--]=0; } printf("%lld\n",f[tp--]); } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { init(); int u,v,w; for(int i=0;i<n-1;++i) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add_edge(u,v,w); } init_tree(); int m,k,h; scanf("%d",&m); while(m--) { scanf("%d",&k); for(int i=1;i<=k;++i) scanf("%d",&hs[i].h); solve(k); } } return 0; }