算法导论学习笔记——第1章

二叉查找树性质 设x是二叉查找树中的一个结点,如果y是x的左子树中的一个结点,则k[y]<=key[x]:如果y是右子树中的一个结点,则k[y]>=k[x] 1 //中序遍历算法,输出二叉查找树T中的全部元素 2 INORDER-TREE-WALK(x) 3 if x!=nil 4 then INORDER-TREE-WALK(left[x]) 5 print key[x] 6 INORDER-TREE-WALK(right[x]) 查找 1 //递归版本 2 TREE-SEARCH(x,k)

任意一种比较排序算法,在最坏情况下的运行时间下限是Ω(nlgn) 计数排序 假设n个输入元素中的每一个都是介于0到k之间的整数,k为某个整数,当k=O(n)时,计数排序的运行时间为Θ(n) 1 //输入数组A[1..n],存放排序结果数组B[1..n],临时存储区C[0..k] 2 COUNTING-SORT(A,B,k) 3 for i←0 to k 4 do C[i]←0 5 for j←1 to length[A] 6 do C[A[j]]←C[A[j]]+1 7 for i←1 to k

对于包含n个数的输入数组来说,快速排序是一种时间复杂度为O(n^2)的排序算法.虽然最环情况的复杂度高,但是快速排序通常是实际应用排序中最好的选择,因为快排的平均性能非常好:它的期望复杂度是O(nlgn),而且O(nlgn)中的常数因子非常小.另外,快速排序还可以实现原址排序,甚至在虚拟环境中也能很好的工作. 1 快速排序的描述 与归并排序一样,快速排序也使用了分治法的思想,下面是对一个典型的子数组A[p.. r]进行快速排序的分治过长: 分解:数组A[p.. r]被划分为两个(可能为空)子数组

直接寻址表 1 DIRECT-ADDRESS-SEARCH(T,k) 2 return T[k] 3 4 DIRECT-ADDRESS-INSERT(T,x) 5 T[key[x]]←x 6 7 DIRECT-ADDRESS-DELETE(T,x) 8 T[key[x]]←nil

堆 堆数据结构是一种数组对象,可以被视为一棵完全二叉树. 对于给定的数组A,树的根为A[1],对于给定的下标为i的结点A[i],其父结点PARENT(i)=floor(i/2),左子结点LEFT(i)=2i,右子结点RIGHT(i)=2i+1 叶级结点的高度可以认为是0,每向上一层,高度加一,定义树的告诉为根结点的高度. P74

解递归式 1.代换法substitution 1)猜测解的形式 2)用数学归纳法找出使解真正有效的常数 2.递归树 使用递归树时,可以忽略一些“小误差”,将递归产生的结果作为猜测,用代换法进行验证. 也可以严格计算每一层递归树的代价,加总成递归式的结果. 对于有两个子问题,子问题规模为1/2的递归树(二叉树),树的高度是lgn,叶级节点的数量是n 3.主方法master method 递归式形式T(n)=aT(n/b)+f(n),其中a>=1,保证有一个及以上子问题:b>1,保证问题的规模逐步

栈 1 Stack-EMPTY(S) 2 if top[S]=0 3 then return TRUE 4 else return FALSE 5 6 PUSH(S,x) 7 top[S]←top[S]+1 8 S[top[S]]←x 9 10 POP(S) 11 if STACK-EMPTY(S) 12 then error "underflow" 13 else top[S]←top[S]-1 14 return S[top[S]+1] 队列 1 ENQUEUE(Q,x) 2 Q[

一些数学问题 1.对任意两个函数f(n)和g(n),f(n)=Θ(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))和f(n)=Ω(g(n)) 2.实数集有一个属性不能应用在渐进符号上 三分性:对于实数a和b,下列三种情况有且仅有一种情况成立,a>b,a=b,a<b 并不是所有的函数都可以进行渐进比较 3.近似的函数增长 对数<线性<多项式<指数<阶乘

红黑树 红黑树是一种二叉查找树,但在每个结点上增加一个存储位存储结点的颜色,可以是red或black.通过对任意一条从根到叶的路径上结点颜色的限制,红黑树确保没有任何一条路径比其他路径长出两倍,因而是接近平衡的. 每个结点包含5个域,color,key,left,right,p 满足以下红黑性质: 1.每个结点是红色或黑色 2.根结点是黑色 3.每个叶结点(nil)是黑色 4.如果一个结点是红色,那么它的两个子结点都是黑色 5.对每个结点,从该结点到它每个子孙结点的路径上,黑结点数目相同 左旋转