算法总结之欧几里德算法
1.欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理：
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)
代码实现：
1 int gcd(int a,int b)
2 {
3 return b==0?a:gcd(b,a%b);
4 }
2.扩展欧几里德算法
基本算法：
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：
则我们先来假设方程的ax+by=gcd(a,b)=d的一个正整数解为x1,y1；别怀疑，这个方程一定有解
则有ax1+by1=gcd(a,b) (1)
又对于方程bx +(a%b)y =gcd(b,a%b)有解x2,y2(假设)
则有bx2+(a%b)y2=gcd (b,a%b) = gcd(a, b) (2)
又a%b = a - (a/b)*b；
则(2)式变为bx2+(a-(a/b)*b)y2=gcd(a,b);
即 ay2 + b(x2-(a/b)*y2) = gcd (a,b) (3) ;
对比(1)(3)得
x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2
故，ax+by=gcd(a,b)的解只需要在方程bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)的解的基础上进行简单的运算就变成原来方程的解，
因为gcd不断递推时会有b=0的情况出现，故可以通过递推来得到方程的解。
代码实现：
1 LL extended_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //返回值为gcd(a,b)
2 {
3 LL ret,tmp;
4 if (b==0)
5 {
6 x=1,y=0;
7 return a;
8 }
9 ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);
10 tmp=x;
11 x=y;
12 y=tmp-a/b*y;
13 return ret;
14 }
3.一些结论
1) 方程 Ax+By=C 满足条件：C=K*Gcd(A,B) (K为整数) 则方程存在整数解。反之无解。
2) 设a，b，c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为(x0，y0)，则它的任意整数解都可以写成(x0+kb‘,y0-ka‘),其中a‘=a/gcd(a，b)，b‘=b/gcd(a，b)，k为任意整数。
3) 若求出一组整数解(x1,x2) 设x0=x1%b‘ y0=y1%b‘ 则x0，y0为所有解中最接近零的解。