有理数分解-数论

题目描述 Description

　　任何一个[0,1]中的有理数p/q(p、q均为自然数)一定可以分解成1/r1+1/r2+1/r3+…+1/rk，且r1<r2<r3<…<rk。当然这样的分解不是唯一的，如5/6=1/2+1/3=1/2+1/5+1/8+1/120，第一个分解式中的第二项比第二个分解式中的第二项大，因此我们可以定义第一个分解式比第二个分解式大。

　　程序要求找出p/q的最大分解式。

输入输出格式 Input/output

输入格式：
键盘输入p、q，1≤p≤q≤50

输出格式：
从小到大依次输出分解式中的每个分母，一行输出一个数

输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例：

5 6
输出样例：

2 3

思路：

假设1/r是能从p/q中分解出来的最大分子为1的真分数，则1/r≤p/q＜1/(r-1)①

又因为p/q-1/r=(p×r-q)/(q×r)②

根据①可知，p×(r-1)<q，所以p×r-p＜q，代入②中可看出，每次待分解的分数的分子一定单调下降，所以就可以用单精度除法(高精度除以普通整数)解决本题。

在输入p、q后要对分数进行化简。

代码如下：

 1 #include <stdio.h>
 2 int gcd(int a,int b)//求最大公约数
 3 {
 4     int r=a%b;
 5     while(r>0)
 6     {
 7         a=b;
 8         b=r;
 9         r=a%b;
10     }
11     return b;
12 }
13 int main()
14 {
15     int p,q;
16     int cm;//当前最大公约数
17     int r;
18     scanf("%d%d",&p,&q);
19     while(p>0)
20     {
21         cm=gcd(p,q);
22         if(cm>0)
23         {
24             /*===========*///化简分数
25             p=p/cm;
26             q=q/cm;
27             /*===========*/
28         }
29         if((q%p)>0)//如果不能分解为最终的1/rk
30         {
31             r=q/p+1;
32         }
33         else
34         {
35             r=q/p;
36         }
37         printf("%d\n",r);
38         p=p*r-q;//减掉
39         q=q*r;
40     }
41     return 0;
42 }