我一直都想写一个关于离散鞅的系列，目的就是展示抽象的鞅概念其实是有着丰富多彩的应用的。记得初学鞅概念的时候，各种不习惯，一个上穿不等式都要花去一天的功夫。好不容易一个引理接一个定理地把教材啃完，过了一段时间又忘得差不多了。这就是缺乏例子的缘故。只有具体的例子才能让抽象的理论变得鲜活生动起来。这个系列包含了以下几个问题，它们都是非常精彩的例子，用到的知识也不复杂。
当然离散鞅论可以解决的问题远不止这些，后续的例子有时间会继续补充。连续鞅的理论将放在随机分析的系列中。
这篇文章要介绍的是赛马下注问题：
假设在一个赌局中赌徒获胜的概率是 $p>1/2$，若获胜可以赢得和所下赌注等量的钱，输了的话就赔掉赌注。现在一个赌徒以初始资金 $Y_0$ 进行 $N$ 局赌局，这里 $N$ 是一个给定的正整数。设第 $i$ 局结束后赌徒的资金为 $Y_i$，赌徒希望将期望增长率 $\frac{1}{N}E\log \frac{Y_N}{Y_0}$ 最大化（等价于将 $E\log Y_N$ 最大化），那么在每次下注的时候，赌徒应该拿出他当前资金的多少来作为赌注呢？ 注意赌徒的策略是可以根据赌局的变化而改变的，每一局赌徒下注的比例不必相同。
这里有争议的问题是为什么要求对数期望的最大化，而不是直接要求 $N$ 局后的期望资金 $EY_N$ 最大化。实际上若要求 $EY_N$ 最大化，则下注策略就是每次都押上全部的资金，但是这将带来很大风险：随着局数的增加赌徒几乎必然会输掉一局，而一次失败就会血本无归，这种下注策略是糟糕的策略。后面会看到，对应增长率最大化的最优策略会避免这个问题：每次押上的赌注是严格小于本金的。
把问题用数学的语言来描述：
$N$ 次赌局的结果可以用 $N$ 个独立的 Bernoulli 随机变量 $X_1,X_2,\ldots,X_N$ 来描述：\[p(X_i=1)=p,\quad p(X_i=-1)=1-p=q.\]
前 $i$ 次赌局给出的信息为 $\mathcal{F}_n =\sigma(X_1,\ldots,X_i)$。设赌徒在第 $n$ 次赌局中下的赌注为 $C_n$，这里要求 $0<C_n\leq Y_{n-1}$。则 $C_n$ 关于 $\mathcal{F}_{n-1}$ 可测，且 $Y_n=Y_{n-1}+C_nX_n$。
关键的一步是证明下面这个结论：
引理：无论采取怎样的策略 $\{R_n\}$，$Z_n=\log Y_n-n\alpha$ 始终是一个上鞅，这里 $Z_0=log Y_0$，$\alpha=p\log p+q\log q+log2$。