定义
在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。——以上来自百度百科
如上图，强连通分量有{1，2，3，4}，{5}，{6}。
Tarjan 算法
Tarjan算法基于有向图的深度优先遍历，能够在线性时间内求出一张图的各个强连通分量。
基本思路是对于每个点，找到与它一起能构成环的节点。一个环一定是强连通分量。
记录一个时间戳dfn[x],在深度优先遍历时，按每个节点第一次被访问的时间顺序依次标记。
维护一个栈。
x的追溯值low[x]记录x在栈中且存在一条从以x为根的子树出发以该点为终点的节点的最小时间戳。
当节点x第一次被访问时，将x入栈，初始化low[x]=dfn[x]。
找x的每一条出边y，如果y没被访问，则递归访问y，从y回溯后，令low[x]=min(low[x],low[y])；如果y被访问，且在栈中，则令low[x]=min(low[x],dfn[y])。
在x回溯之前，判断low[x]是否等于dfn[x]，如果是，则不断弹出栈中元素，直至x被弹出。
此时弹出的所有节点，便构成了一个强连通分量，用一个vector型的scc[i]数组保存。
c[x]数组表示x所在的强连通分量的编号。
ins[x]数组记录x点是否入栈。
void tarjan(int x)
{
dfn[x]=low[x]=++num;
stack[++top]=x;
ins[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=next[i])
{
int y=ver[i];
if(!dfn[y])
{
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else if(ins[y])
low[x]=min(low[x],dfn[y]);
if(dfn[x]==low[x])
{
cnt++;int k;
do
{
k=stack[top--];
ins[k]=0;
c[k]=cnt;
scc[cnt].push_back(k);
}
while(x!=k)
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
缩点
将有向图中的每个强连通分量缩成一个点。
对于每个强连通分量，在它们之间连一条边，得到一个有向无环图，保存在另一个邻接表中。
for(int x=1;x<=n;x++)
{
for(int i=head[x];i;i=next[i])
{
int y=ver[i];
if(c[x]==c[y]) continue;
add(c[x],c[y]);//保存在邻接表中
}
}
Kosaraju 算法
首先有对于一张有向图，它的原图和反图的强连通分量是一样的。
利用此原理，Kosaraju算法先对原图做dfs,记录各点退出dfs的时间顺序
求反图。
对反图再次进行dfs，按照第一次保存的顺序由大到小访问顶点。
void dfs1(int x){ vis[x]=1; for(int i=0;i<g[x].size();i++) { if(vis[g[x][i]]) dfs1(g[x][i]); } vs.push_back(x);}
void dfs2(int x,int y){ vis[x]=y; cmp[x]=y; for(int i=0;i<rg[x].size();i++) { if(!vis[g2[x][i]]) dfs2(g2[x][i],y); }} int scc(){ memset(vis,0,sizeof(vis)); vs.clear(); for(int i=0;i<V;i++) { if(!vis[i]) dfs1(i); } memset(vis,0,sizeof(vis)); int k=0; for(int i=vs.size()-1;i>=0;i--) { if(!vis[vs[i]]) dfs2(vs[i],k++); } return k;}
一些例题
受欢迎的牛
https://www.luogu.com.cn/problem/P2341
模板题，用tarjan算法或者Kosaraju算法都可以。
真的很模板，就不贴代码了。
稳定婚姻
https://www.luogu.com.cn/problem/P1407
啧，不得不吐槽一下，这道题三观真不正。
建图，夫妻之间由man指向woman，情人之间由woman指向man（反过来也行）。
再判断强联通分量，如果夫妻之间在同一强连通分量中，就说明婚姻是不安全的，不在就是安全的。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300002;
map<string,int> a;
int ver[N],next[N],head[N];
int dfn[N],low[N],s[N],ins[N],c[N];
int tot,cnt,idx,top;
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y;
next[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void tarjan(int x)
{
dfn[x]=low[x]=++idx;
s[++top]=x;
ins[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=next[i])
{
int y=ver[i];
if(dfn[y]==0)
{
tarjan(y);
low[x]=min(low[y],low[x]);
}
else if(ins[y])
low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if(dfn[x]==low[x])
{
cnt++;
while(1)
{
c[s[top]]=cnt;
ins[s[top]]=0;
if(s[top--]==x) break;
}
}
}
int main()
{
int n,m ;
scanf("%d",&n);
string s1,s2;
for(int i=1;i<=n ;i++)
{
cin>>s1>>s2;
a[s1]=i;
a[s2]=i+n;
add(i,i+n);
}
scanf("%d",&m );
for(int i=1;i<=m ;i++)
{
cin>>s1>>s2;
add(a[s2],a[s1]);
}
for(int i=1;i<=n*2;i++)
{
if(dfn[i]==0)
tarjan(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(c[i]==c[i+n]) puts("Unsafe");
else puts("Safe");
}
return 0;
}
HXY烧情侣
https://www.luogu.com.cn/problem/P2194
怎么最近做的题都奇奇怪怪的[不解]。
求强连通分量就行了，也挺模板的一道题。
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=300005；int n,w[N],m,ans1,ans2;int ver[N],next[N],head[N],tot;
void add(int x,int y) { ver[++tot]=y; next[tot]=head[x]; head[x]=tot;}
const int mod=1e9+7;
int dfn[N],low[N],num,belong[N],all[N],cnt;bool vis[N];stack<int>s;vector<int>G[N];void tarjan(int x){ dfn[x]=low[x]=++num; s.push(x); vis[u]=1; for(int i=head[x];i;i=next[i]) { int y=ver[i]; if(!dfn[y]) { tarjan(y); low[x]=min(low[x],low[y]); } else if(vis[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]); } if(low[x]==dfn[y]) { int k=x; ++cnt; do{ v=s.top();s.pop(); vis[k]=c[k]=cnt;all[cnt]++; G[cnt].push_back(k); }while(k!=x); }}
int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]); scanf("%d",&m); for(int a,b,i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); add(a,b); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i); ans2=1; for(int i=1;i<=cnt;i++) { int l=G[i].size(),k=0,minn=999999999; for(int j=0;j<l;j++) { if(w[G[i][j]]<minn) { minn=w[G[i][j]]; k=1; } else if(minn==w[G[i][j]] k++; } ans1+=minn; ans2=(ans2%mod*k%mod)%mod; } printf("%d %d",ans1,ans2); return 0;}
我觉得差不多了 嗯。
赶在十点之前交。
新年快乐。
原文地址：https://www.cnblogs.com/mgtnb/p/12227131.html