Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N.
"Oh, I know, I know!" Longge shouts! But do you know? Please solve it.
Input
Input contain several test case.
A number N per line.
Output
For each N, output ,∑gcd(i, N) 1<=i <=N, a line
Sample Input
2 6
Sample Output
3 15
这题推完柿子 之后，直接根号枚举因子，然后算phi 也能过....但是这题想考的是gcd是一个积性函数 gcd(i*j,n)=gcd(i,n)*gcd(j,n)
好了现在我们需要来学习真正的姿势了，我也是刚学的，利用gcd是积性函数的性质，根据前文说的，我们有这样的结论：n>1时 n=p1^a1*p2^a2*...*ps^as，p为n的质因子，那么f(n)是积性函数的充要条件是f(1)=1，及f(n) = f(p1^a1)*f(p2^a2)*...f(pr^ar)，所以只要求f(pi^ai)就好。现在来看具体做法。
f(pi^ai) = Φ（pi^ai）+pi*Φ（pi^(ai-1)）+pi^2*Φ（pi^(ai-2)）+...+pi^(ai-1)* Φ（pi）+ pi^ai *Φ（1）
根据性质1，我们可以做出如下化简
f(pi^ai)=[pi^(ai-1)*(pi-1) ] + [pi*pi^(ai-2)*(pi-1)] + [pi^2*pi^(ai-3)*(pi-1)] + [pi^3*pi^(ai-4)*(pi-1)]....[pi^(ai-1)*pi^(ai-ai)*(pi-1)]+pi^ai ①
然后对①提取公因子（pi-1）
f(pi^ai)=(pi-1){[pi^(ai-1) ] + [pi*pi^(ai-2)] + [pi^2*pi^(ai-3)] + [pi^3*pi^(ai-4)]....[pi^(ai-1)*pi^(ai-ai)]+[pi^ai/(pi-1)]} ②
紧接着我们发现出了最后一项每个[]每个方括号内乘积都等于pi^(ai-1),所以对②提取公因子pi^(ai-1)
f(pi^ai)=(pi-1)*pi^(ai-1)*{ai+[pi/(pi-1)]} ③
然后把(pi-1)/pi放进括号里得
f(pi^ai)=pi^(ai)*{1+ai*(pi-1)/pi} ④
这个 ④是单个f(pi^ai)的公式，我们提取所有的pi^(ai)相乘实际上就是n了，所以我们可以得到f(n)的公式：f(n)=n*∏（1+ai*(pi-1)/pi）
然后我们看代码吧！
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 #ifdef WIN32
5 #define LLD "%I64d"
6 #else
7 #define LLD "%lld"
8 #endif
9 #define ll long long
10 using namespace std;
11 ll n;
12 inline int phi(int x){
13 int ans=x;
14 for(int i=2;1ll*i*i<=1ll*x;i++){
15 if(x%i==0) {
16 ans=ans/i*(i-1);
17 while(x%i==0) x/=i;
18 }
19 }
20 if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
21 return ans;
22 }
23 int main(){
24 // freopen("poj2480.in","r",stdin);
25 while(scanf(LLD,&n)!=EOF){
26 ll ans=0;
27 for(int i=1;1ll*i*i<=1ll*n;i++){
28 if(n%i==0){
29 int x=phi(n/i);ans+=1ll*x*i;
30 if(i*i!=n) {
31 int y=phi(i);ans+=1ll*y*(n/i);
32 }
33 }
34 }
35 printf(LLD"\n",ans);
36 }
37 return 0;
38 }
Longge's problem ( gcd的积性）
原文地址：https://www.cnblogs.com/zhangbuang/p/11053817.html