HihoCoder1532 : 最美和弦(DP优化)

描述

某个夜晚，Bob将他弹奏的钢琴曲录下来发给Jack，Jack感动之余决定用吉他为他伴奏。

我们可以用一个整数表示一个音符的音高，并可认为Bob弹奏的曲子是由3N个整数构成的一个序列。其中每个整数的取值范围是[-200, 200]。

Jack共弹奏 N 个和弦，每个和弦由三个音符组成。Jack可以自行决定和弦的第一个音符，其后的两个音符由第一个音符与和弦种类所决定。Jack共弹奏两种和弦：大三和弦与小三和弦。假设Jack决定某个和弦的第一个音符是 x，那么对于大三和弦，余下两个音符依序是 x+4和 x+7；对于小三和弦，余下两个音符依序是x+3和x+7。两个和弦相同，当且仅当其对应位置的三个音符都相同。其中每个和弦的第一个音符x的取值范围也是[-200, 200]。

Jack很懒，一旦决定弹奏某个和弦后，便不愿意更换和弦。即如果他开始弹奏1,5,8这个和弦，他将不停重复1,5,8,1,5,8,1,5,8……Bob觉得这样过于单调，于是Jack妥协：他表示愿意更换和弦，但最多更换K次。最开始选择和弦不计在更换次数内。

我们用不和谐值衡量乐曲与伴奏之间的契合程度。记某时刻Bob弹奏音符的音高为a，Jack弹奏音符的音高为b，则该点的不和谐值为|a-b|。整首乐曲的不和谐值等于这3N个不和谐值之和。

Jack希望选取最美的一组和弦，使得整首乐曲的不和谐值达到最小。你需要输出这个最小值。

输入

第一行两个正整数 N (≤1000), K (≤20).

第二行3N个整数(取值范围[-200, 200])为Bob的曲谱。

输出

一个整数，为乐曲最小不和谐值。

样例输入

3 1
-1 3 6 4 7 11 21 26 28

样例输出

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思路：dp[N][X][K][1]表示第N个和弦，用了K次机会，最后一次用的是3还是4。

每一次，都可以选择换或者不换，换的时候前面一次的X与现在的X不同，因此需要for循环枚举X，但是这样复杂度太高。需要记录前面用那个X最小，及代码里的Min。

那么最近经常做到记录前面最优的DP，这里有两道区间题，需要前缀和优化DP：http://www.cnblogs.com/hua-dong/p/8452988.html

#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=1000000000;
int dp[1010][410][21][2],a[3010];
int Min[1010][21][2];
int abs(int x){ if(x<0) return -x; return x; }
int main()
{
    int N,K,i,j,k,ans=inf;
    scanf("%d%d",&N,&K);
    for(i=0;i<=N;i++)
     for(j=0;j<=K;j++)
       Min[i][j][0]=Min[i][j][1]=inf;
    for(i=1;i<=3*N;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(i=1;i<=N;i++){
        for(j=-200;j<=200;j++){ //K=0，显然不能换
            dp[i][j+200][0][0]=dp[i-1][j+200][0][0]+abs(a[3*(i-1)+1]-j)+abs(a[3*(i-1)+2]-j-3)+abs(a[3*(i-1)+3]-j-7);
            Min[i][0][0]=min(Min[i][0][0],dp[i][j+200][0][0]);
            dp[i][j+200][0][1]=dp[i-1][j+200][0][1]+abs(a[3*i-2]-j)+abs(a[3*i-1]-j-4)+abs(a[3*i]-j-7);
            Min[i][0][1]=min(Min[i][0][1],dp[i][j+200][0][1]);
        }
        for(k=1;k<=K;k++)
          for(j=-200;j<=200;j++){//K>0，当前j可能是换后的，可能没有换。
             dp[i][j+200][k][0]=min(dp[i-1][j+200][k][0],Min[i-1][k-1][0])+abs(a[3*i-2]-j)+abs(a[3*i-1]-j-3)+abs(a[3*i]-j-7);
             dp[i][j+200][k][0]=min(dp[i][j+200][k][0],Min[i-1][k-1][1]+abs(a[3*i-2]-j)+abs(a[3*i-1]-j-3)+abs(a[3*i]-j-7));
             Min[i][k][0]=min(Min[i][k][0],dp[i][j+200][k][0]);
             dp[i][j+200][k][1]=min(dp[i-1][j+200][k][1],Min[i-1][k-1][0])+abs(a[3*i-2]-j)+abs(a[3*i-1]-j-4)+abs(a[3*i]-j-7);
             dp[i][j+200][k][1]=min(dp[i][j+200][k][1],Min[i-1][k-1][1]+abs(a[3*i-2]-j)+abs(a[3*i-1]-j-4)+abs(a[3*i]-j-7));
             Min[i][k][1]=min(Min[i][k][1],dp[i][j+200][k][1]);
        }
    }
    for(k=0;k<=K;k++){
         ans=min(ans,Min[N][k][1]);
         ans=min(ans,Min[N][k][0]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/hua-dong/p/8457125.html