康托展开 X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中，a[i]为整数，并且X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!。这就是康托展开。康托展开可用代码实现。
——百度百科
这个东西，我们高三的时候称作OhYee第一定理（还有第二第三）。当时做排列组合做到疯的时候推出来的。然而我们数学老师觉得没什么琴里用→_→
对于八数码问题，在储存时有一个问题，就是八数码共有9！=362800种可能，但是如果用9维数组，包含了99=387420489项，显然造成了极大地浪费。
当然，我们可以采用哈希表来进行映射，而哈希函数便可以使用康托展开（OhYee第一定理）。
当年我可是在有OhYee第一定理的情况下做过八数码的，可惜当时竟然没有想到用OhYee第一定理。。。
嗯嗯，我们就不管是康托展开，还是康托逆展开了，反正都是OhYee定理的内容23333333333
含义
对于｛1，2，3，4｝其排列有：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321共24种。
这样我们就可以按照从小到大的顺序，给他们编上号，就有了一个映射关系
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 1234 | 1243 | 1324 | 1342 | 1423 | 1432 | 2134 | 2143 | 2314 | 2341 | 2413 | 2431 |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| 3124 | 3142 | 3214 | 3241 | 3412 | 3421 | 4123 | 4132 | 4213 | 4231 | 4312 | 4321 |
这样将序号和数字的映射就是康托（逆）展开
原理
由上面｛1，2，3，4｝的例子很容易发现，从小到大排列，有着一定的规律。
以每个数开头的，分别占据了总数（4!）的1/4，即3！。
第一个以1开头的在0×3！+1=1
第一个以2开头的在1×3！+1=7
……
也就是说N个数全排列，第一个数是x的数出现在(x-1)×(N-1)!+1处。
第一个数确定后，我们再看第二个数。假如第一个数是2，那么还有{1，3，4}三个数。
令1=1，2=3，3=4，我们便可看成{1，2，3}三个数的排列
假如是那么第一个2便在1×2!+1=3
再映射回去，也就是第二个是3的在第3个，对照上表看，在第一个是2的数中第二个是3的第一个数就是第3个
就这样，不断类比下去，就可以得到一个数在其排列中的位置。这就是OhYee第一定理
ps:最后的+1只需要加一次
例子
假如我们想要计算在{1，2，3，4}的全排列中，2413的位置
首先有对2，比2小的有1，共1个。1×3！=6
此时剩下1，3，4。
然后对4，比4小的有1，3，共2个。2×2！=4
此时剩下1，3。
然后对1，比1小的有0个。0×1！=0
此时剩下3，比3小的有0个。0×0！=0
所以，2413的位置是6+4+0+0+1=11
逆着来一遍
排列中，第11个是什么呢~
首先划分区间3！=6，也就是6个一组（以相同的数字开头）
这样11-6=5<=6 在第2区间。第一个数是2
再往下划分区间2！=2
5-2=3 3-2=1<=2在第3区间。第二个数是4
再往下划分1！=1
1<=1在第一区间。第三个数是1
再往下划分0！=1
1<=1在第一区间。第四个数是3
所以，第11个数是2413
根据上面的分析，我们需要不断插入删除数字，需要用链表来记录还存在的数
用指针弄一个链表（输出了中间运算过程）
class linked_list{
private:
struct link{
int num;
link *next;
};
link *head;
public:
linked_list(){
head=NULL;
}
void Add(int n){
link *it;
if(head==NULL){
head=new link;
it=head;
}else{
it=head;
while((it->next)!=NULL){
it=it->next;
}
it->next=new link;
it=it->next;
}
it->num=n;
it->next=NULL;
cout<<"add "<<n<<" ("<<it<<")"<<endl;
}
void Del(int n){
link *it=head;
if(it->num==n){
head=it->next;
delete(it);
cout<<"delete "<<n<<" ("<<it<<")\n";
return;
}
while(it->next->num!=n){
it= it->next;
if(it->next==NULL)return;
}
link *temp=it->next;
it->next=it->next->next;
delete(temp);
cout<<"delete "<<n<<" ("<<temp<<")\n";
}
int get(int n){
link *it=head;
int cnt=0;
cout<<"begin ";
while(it->num!=n){
cout<<"---->"<<it<<"("<< it->num <<") ";
it=it->next;
cnt++;
}
cout<<endl;
return cnt;
}
int get2(int n){
link *it=head;
cout<<"begin ";
while(n>1){
cout<<"---->"<<it<<"("<< it->num <<") ";
it=it->next;
n--;
}
cout<<"---->"<<it<<"("<< it->num <<") "<<endl;
return it->num;
}
};
其中Add()是向链表最后插入，Del()是删除存储制定数据的节点，get()是获取指定数据前面的节点数，get2()是获取指定节点存储的数
然后是康托(逆)展开
int factorial[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320};//n!
int KT(int N,int x){
int ans=1;
linked_list L;
stack<int> S;
while(x){
S.push(x%10);
x/=10;
}
REP(N){
L.Add(o+1);
}
REP(N){
int a=L.get(S.top());
L.Del(S.top());
S.pop();
ans+=a*factorial[N-o-1];
}
return ans;
}
int KTN(int N,int n){
int ans=0;
linked_list L;
REP(N){
L.Add(o+1);
}
REP(N){
ans*=10;
int t=1;
while(n>factorial[N-o-1]){
n-=factorial[N-o-1];
t++;
}
int temp=L.get2(t);
ans+=temp;
L.Del(temp);
}
return ans;
}
最后完整代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
#define REP(n) for(int o=0;o<n;o++)
int factorial[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320};//n!
class linked_list{
private:
struct link{
int num;
link *next;
};
link *head;//The address of the first link
public:
linked_list(){
head=NULL;
}
void Add(int n){//Add node
link *it;
if(head==NULL){
head=new link;
it=head;
}else{
it=head;
while((it->next)!=NULL){
it=it->next;
}
it->next=new link;
it=it->next;
}
it->num=n;
it->next=NULL;
cout<<"add "<<n<<" ("<<it<<")"<<endl;
}
void Del(int n){
link *it=head;
if(it->num==n){//if the first node is the target
head=it->next;
delete(it);
cout<<"delete "<<n<<" ("<<it<<")\n";
return;
}
while(it->next->num!=n){
it= it->next;
if(it->next==NULL)return;
}
link *temp=it->next;
it->next=it->next->next;
delete(temp);
cout<<"delete "<<n<<" ("<<temp<<")\n";
}
int get(int n){
link *it=head;
int cnt=0;
cout<<"begin ";
while(it->num!=n){
cout<<"---->"<<it<<"("<< it->num <<") ";
it=it->next;
cnt++;
}
cout<<endl;
return cnt;
}
int get2(int n){
link *it=head;
cout<<"begin ";
while(n>1){
cout<<"---->"<<it<<"("<< it->num <<") ";
it=it->next;
n--;
}
cout<<"---->"<<it<<"("<< it->num <<") "<<endl;
return it->num;
}
};
int KT(int N,int x){
int ans=1;
linked_list L;
stack<int> S;
while(x){
S.push(x%10);
x/=10;
}
REP(N){
L.Add(o+1);
}
REP(N){
int a=L.get(S.top());
L.Del(S.top());
S.pop();
ans+=a*factorial[N-o-1];
}
return ans;
}
int KTN(int N,int n){
int ans=0;
linked_list L;
REP(N){
L.Add(o+1);
}
REP(N){
ans*=10;
int t=1;
while(n>factorial[N-o-1]){
n-=factorial[N-o-1];
t++;
}
int temp=L.get2(t);
ans+=temp;
L.Del(temp);
}
return ans;
}
int main(){
cout<<KT(4,2413)<<endl;
cout<<KTN(4,11);
}
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